Question

数学 反函数求导法则

求y=logaX的导数，y=logaX的反函数是y=a的X次方，而解答第一步是X=a的y次方(不能理解)，再求导数的倒数即为原函数的导数。y=arcsinX也是，为什么第一步是X=Siny不是y=sinX？非常感谢！！

Answer 1

反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。

如果函数x=f(y)在区间Iy内单调、可导且f′(y)≠0，那么它的反函数y=f−1(x)在区间Ix=

{x|x=f(y)，y∈Iy}内也可导，且[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

这个结论可以简单表达为：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

例：

设x=siny，y∈[−π2,π2]

为直接导数，则y=arcsinx是它的反函数，求反函数的导数。

解：函数x=siny在区间内单调可导，f′(y)=cosy≠0

因此，由公式得

(arcsinx)′=1(siny)′=1cosy=11−sin2y−−−−−−−−√=11−x2−−−−−√

一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= g(y).

若对于y在C反函数中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=
g(y)就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)
(x) 反函数y=f^(-1) (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

Answer 2

y=logaX的反函数是y=a的X次方，这样写是习惯的表达，想一想高中时是怎么写反函数的；解答第一步是X=a的y次方，是为了解答题目从原函数推出来的反函数的实际表达式。

其实：导数的倒数即为原函数的导数，可以这样理解：设y=y(x)，其反函数为：x=x(y) ；两函数均可导。
y′(x)=dy/dx ① ；x′(y)=dx/dy ②
①②左右两端分别相乘： y′(x)·x′(y)=(dy/dx)·(dx/dy)=1 ，即：·x′(y)=1/ y′(x) ③ 。
为了习惯的表达，再将③左端x,y互换位置。
导数的倒数即为原函数的导数，也就是说：导数的导数与原函数的导数互为倒数。（感觉这样说能更好理解③）

希望对你有所帮助！

Answer 3

其实你想的那样也正确着呢，只不过我们都习惯用y做因变量，x做自变量，所以当你求到 y=sinx 把x和y交换位置即可。所有函数的反函数都是这样求的。

Answer 4

解答第一步是X=a的y次方 是从y=logaX推导出来的 是为了证明导数的倒数即为原函数的导数这个结果 而把写成y=a的X次方 结论后函数写法的一种习惯性

Answer 5

反函数的导数就是原函数导数的倒数

导是数学计算中的一个计算方法，导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。
基本初等函数的导数公式：
1 .C'=0(C为常数）；
2 .(Xn)'=nX(n-1) (n∈Q）；
3 .(sinX)'=cosX；
4 .(cosX)'=-sinX；
5 .(aX)'=aXIna （ln为自然对数）
特别地，(ex)'=ex
6 .(logaX)'=（1/X)logae=1/(Xlna) (a>0，且a≠1)
特别地，(ln x)'=1/x
7 .(tanX)'=1/(cosX)2=(secX)2
8 .(cotX)'=-1/(sinX)2=-(cscX)2
9 .(secX)'=tanX secX
10.(cscX)'=-cotX cscX
⑶导数的四则运算法则：
①（u±v)'=u'±v'
②（uv)'=u'v+uv'
③（u/v)'=(u'v-uv')/ v2
④复合函数的导数
[u(v)]'=[u'(v)]*v' （u(v）为复合函数f[g(x)]）