Question

求一个级数的和函数

∑<x^(4n+1)>/4n+1 其中n为1到正无穷。。然后求这个无穷级数的和函数。给出过程好么谢谢

Answer 1

设和函数为S(x)，由于
S(x) = sum(n从1到无穷) x^(4n+1) / (4n+1)，于是两边对x求导，得到：
S'(x) = sum (n从1到无穷) x^(4n)
= sum (n从1到无穷) (x^4)^n，
这就是等比求和的表达式了，于是
S'(x) = x^4 / (1 - x^4), |x| < 1，于是
（楼上算的是认为第一项是1，但其实不是啦，这里第一项n=1时为x^4）
S(x) = 不定积分 S'(x) dx
= 不定积分 x^4 / (1-x^4) dx
= 不定积分 [ (x^4-1) + 1 ] / (1-x^4) dx
= -x + 不定积分 1/(1-x^4) dx
= -x + 不定积分 1/ [ (1+x)(1-x)(1+x^2) ] dx，
不定积分是对有理分式积分，有分解的套路，分解的结果是：
1/ [ (1+x)(1-x)(1+x^2) ] = 1/(4(1-x)) + 1/(4(1+x)) + 1/[2(1+x^2)]
于是积出来就是
-1/4 * ln |1-x| + 1/4 * ln|1+x| + 1/2 * arctan(x)，又由于刚才整个求和函数的过程是定义在
x属于(-1,1)上的（此时等比级数才收敛），于是绝对值符号可以去掉，这样
S(x) = -x + 1/4 * ln [(1+x)/(1-x)] + 1/2 * arctan(x) + C，
C是不定积分积出来的。现在要确定C，就直接代入x = 0即可，
显然S(0) = 0，于是C = 0，和函数就是：
S(x) = -x + 1/4 * ln [(1+x)/(1-x)] + 1/2 * arctan(x)

Answer 2

具体过程见图片。

追问

请问∑x^4n是如何算到等于x^4/1-x^4这个等式的呢？通过什么？？

追答

数列{x^4n}是一个等比数列，公比是x^4.在收敛域上，此数列是无穷等比数列，
根据无究等比数列的无穷项和公式a1/1-q=x^4/(1-x^4), 其中a1表示首项，q表示公比。
如果不知道这个公式，那也可以通过先求前n项和，再求n趋向于无穷大求得的。

Answer 3

=∑∫x^(4n)dx=∫[1/(1-x^4)-1]dx=∫[1/4(1-x)+1/4(1+x)+1/2(1+x^2)]dx=(1/4)ln|(1+x)/(1-x)|+(1/2)arctanx

追问

∑∫x^(4n)dx是怎样得到等于∫[1/(1-x^4)-1]dx的呢？

追答

他的是错的，你到采用他的！
∑∫x^(4n)dx是怎样得到等于∫[1/(1-x^4)-1]dx的呢？
∑∫x^(4n)dx=∫[1/(1-x^4)-1]dx是因为等比数列。