Question

已知P是椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）上的一点，F1，F2为两焦点

已知P是椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）上的一点，F1，F2为两焦点，且F1P⊥F2P。若P到准线的距离分别是6和12.求此椭圆方程

Answer 1

设P(acosθ,bsinθ)，则向量F1P=(acosθ+c,bsinθ)，向量F2P=(acosθ-c,bsinθ)
由向量F1P·向量F2P=0，得a²cos²θ-c²+b²sin²θ=a²cos²θ-c²+(a²-c²)sin²θ=0
即1+sin²θ=a²/c²
又准线方程为x=±a²/c
∴acosθ+a²/c=12，acosθ-a²/c=6
或acosθ+a²/c=6，acosθ-a²/c=12
联立后，即可解出a、c，进而得到椭圆方程

Answer 2

解答：
设椭圆离心率是e
则|PF1|=6e,|PF2|=12e
∵ F1P⊥F2P
∴ |F1F2|=6√5e=2c
∴ 6√5c/a=2c
∴ a=3√5
又|PF1|+|PF2|=2a
即 18e=2a
即 18c/a=2a
∴ c=a²/9=5
∴ b²=a²-c²=45-25=20
∴ 椭圆方程是x²/45+y²/20=1