Question

急！！！一道高中数学题求解f（x）＝2x（1－㏑2x）,a＞0,b＞0,求证f（（a＋b）／2）≤（f（a）＋f（b）...

急！！！一道高中数学题求解f（x）＝2x（1－㏑2x）,a＞0,b＞0,求证f（（a＋b）／2）≤（f（a）＋f（b））／2≤f（2ab／（a＋b））

Answer 1

解答：我来帮你解释一下；
对原函数进行求导：
F'(X）=-2ln（2X）+4；定义域X>0；（根据对数函数的单调性）
导数F‘（X）<0 ；显然在定义域范围内单调递减的；
对结论进行分析：
根据均值不等式之间的大小比较：
(a+b)/2-√(ab)=1/2*(√a-√b)^2>=0，
即(a+b)/2>=√(ab)， 当且仅当a=b时取等号
(a+b)/(2ab)-1/√(ab)= (a+b-2√(ab))/(2ab)
= (√a-√b)^2/(2ab)>=0
即(a+b)/(2ab)>=1/√(ab)
也就是， √(ab)>=2ab/(a+b)，
当且仅当a=b时取等号
最终结果：
(a+b)/2>=√(ab)>=2ab/(a+b)
因此对原函数的取值，根据单调性可知道：刚好是相反的！
故此有：
f（（a＋b）／2）≤（f（a）＋f（b））／2≤f（2ab／（a＋b））
因为a、b（大小关系不确定，所以可以取到a=b时，可以取=）
证毕！！！
但愿对你有帮助！！！！！！1祝你学习进步！！！！！！！！！
注：怕你看不懂，因为lnX+lny=lnXy；（这是中间那一步的处理）

Answer 2

这道题用单调性好做一点，因为函数y=lnx在定义域区间内是单调递增函数，所以函数f（x）＝2x（1－㏑2x）是单调递减函数，而我们很容易知道（a＋b）／2>=√ab>=2ab／（a＋b）{因为a+b>=2√ab,所以2ab／（a＋b<=2ab/(2√ab)=√ab},所以f（（a＋b）／2）≤（f（a）＋f（b））／2≤f（2ab／（a＋b））

Answer 3

亲 求f（x）的导数 得出其增减性.....然后比较f中的自变量....

Answer 4

求导后， 两边分别带入 再用放缩法即可

Answer 5

恩恩