Question

如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：AC=2AE

如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：AC=2AE

Answer 1

延长AE至F，使EF=AE，连结BF、DF，则ABFD是平行四边形。
则角DAB+角ABF=180，又角ADB=角DAB，角ADB+角ADC=180。
所以角ADB=角ABF
在三角形ADC和三角形ABF中
DC=AB，AD=BF，角ADC=角ABF
所以AC=AF=2AE

Answer 2

∵∠BDA=∠BAD
∴AB=BD
∵CD=AB
∴BD=DC，即C是BC中点
作AC中点F，连接DF，则DF是△ABC的中位线（思路：证明“AC的一半（AF）和AE相等”，“△ADF和△ADE全等？”）
∴DF=AB/2= BD/2=ED，且∠ADF=∠DAB（内错角相等）=∠BDA
∵AE是△ABD的中线
∴BD/2=ED
∴DF=ED
∵AD=AD（公共边）
由“边角边”可证△ADF≌△ADE
∴AE=AF=AC/2
∴AC=2AE

Answer 3

延长AE至F，使EF=AE，连结BF、DF，则ABFD是平行四边形。
则角DAB+角ABF=180，又角ADB=角DAB，角ADB+角ADC=180。
所以角ADB=角ABF
在三角形ADC和三角形ABF中
DC=AB，AD=BF，角ADC=角ABF
所以AC=AF=2AE