Question

麦克劳林公式一定要当X很小的时候用吗

关于麦克劳林公式一定要当X很小的时候用吗
也就是说x趋于0的时候才能用吗？？

是不是在X=0处的泰勒公式 只适用于x趋向于0的情况呢

为什么e^x 在x=0的泰勒展式适用于x为任意实数的呢
不理解 求解释

Answer 1

其实楼主只是从现在学“公式”，并没有接触“级数”概念。这个有“级数”理论就可以说清楚。级数就是从0加到n，再让n趋近于∞，不写泰勒公式里面的余项，直接加和就是0到无穷。楼主这个问题问的应该是这样的0加到无穷的级数什么时候有极限（就是“收敛”）。

先搞清楚，凡是写成多少多少x的n次方加起来的形式的级数都叫幂级数。幂级数有个性质，就是存在收敛半径，意思是以x=x0为中心，R的半径范围内收敛，也就是区间(x0-R,x0+R)里面收敛。

麦克劳林级数就是x=0的幂级数展开，这里面说的x=0处展开指的是中心在x=0，并不是说x要趋近于0.不同的函数适用范围不同是因为收敛半径不同。比如e^x收敛半径R=∞，所以适用于任意实数x；像ln(x+1)收敛半径R=1，只限于x在-1到1之间。
收敛半径有求出的方法，可以用根式或者比值，来源于柯西判别法和达朗贝尔判别法。这个具体求法高数书上应该有吧。

Answer 2

不是的，只要在某一点处n阶可导便可以用泰勒公式。
而迈克劳林公式是必需在x=0处n阶可导。

Answer 3

适用于任意实数的那个式子是幂级数展开式，而不是泰勒展开式。
泰勒展开式最后永远会有一个余项。
为了让那个余项是一个无穷小（不然的话展开式余项太大就毫无意义了），
像麦克劳林公式就一定要当X很小的时候用。
比如e^x=1+x+o(x)，在全平面你可以说他对，
但是在x比较大的时候那个余项o(x)太大了，写成o毫无意义。

Answer 4

不是