Question

数学题 已知三棱锥P—ABC,平面PAB垂直与平面ABC,平面PAC垂直于平面ABC，AE垂直于平面PBC，E为垂足，求证

（1）PA垂直与平面ABC（2）当E为三角形PBC的垂足时，求证：三角形ABC为直角三角形

Answer 1

（1）过P点做PQ⊥平面ABC
因为平面PAB⊥平面ABC，P点在平面PAB内，所以PQ一定在也平面PAB内。
（如何证明呢？可以在平面PAB内过P点做PM⊥AB于M，因为两平面互相垂直，一平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面，所以PM⊥平面ABC。又因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以PQ和PM只能是重合的，所以PQ在平面PAB内。）
同理，PQ也在平面PAC内
所以PQ是平面PAB和平面PAC的交线，即PA和PQ是重合的。
所以PA⊥平面ABC

（2）题目是不是写错了？应该是：E为三角形PBC的垂心吧？
如果是垂心的话，证明过程如下：

连接CE并延长，交PB于F
因为E是三角形的垂心，所以CF⊥PB
AE⊥平面PBC，所以AE⊥PB
PB同时垂直于平面CAF内两条相交直线
所以PB⊥平面CAF
所以PB⊥AC
因为PA⊥平面ABC
所以PA⊥AC
所以AC⊥平面PAB
所以AC⊥AB
所以三角形ABC是直角三角形，得证。

Answer 2

连接CE并延长，交PB于F
因为E是三角形的垂心，所以CF⊥PB
AE⊥平面PBC，所以AE⊥PB
PB同时垂直于平面CAF内两条相交直线
PB⊥平面CAF
所以PB⊥AC
因为PA⊥平面ABC
所以PA⊥AC
AC⊥平面PAB
AC⊥AB
所以三角形ABC是直角三角形，

Answer 3

:(1)在平面ABC内取一点D,作DF⊥AC于F.
平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,
∴DF⊥平面PAC.PA包含于平面PAC.
∴DF⊥AP.
作DG⊥AB于G.同理可证DG⊥AP.
DG､DF都在平面ABC内,
∴PA⊥平面ABC.
(2)连结BE并延长交PC于H.
∵E是△PBC的垂心,∴PC⊥BH.
又已知AE是平面PBC的垂线,∴PC⊥AE.
∴PC⊥平面ABE.
∴PC⊥AB.
又∵PA⊥平面ABC.∴PA⊥AB.
∴AB⊥平面PAC.
∴AB⊥AC.即△ABC是直角三角形.