Question

已知x1,x2是关于x的方程（x-2）（x-m）=（p-2）（p-m）的两个实数根。 （1）求x1,x2的值。 （2）若x1,x2是

2007•绵阳）已知x1，x2是关于x的方程（x-2）（x-m）=（p-2）（p-m）的两个实数根．
（1）求x1，x2的值；
（2）若x1，x2是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．
解：（1）原方程变为：x2-（m+2）x+2m=p2-（m+2）p+2m，
∴x2-p2-（m+2）x+（m+2）p=0，
（x-p）（x+p）-（m+2）（x-p）=0，
即（x-p）（x+p-m-2）=0，
∴x1=p，x2=m+2-p；
（2）根据（1）得到
直角三角形的面积为12x1x2=12p（m+2-p）
=-12p2+12（m+2）p
=-12（p-m+22）2+(m+2)28，
∴当p=m+22且m＞-2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积
为(m+2)28和二分之一p平方

为什么答案有“二分之一p平方”?

Answer 1

其实是一样的
一个是用m表示 一个是用p表示
p=(m+2)/2 换算下 m=2p-2
代入到 (m+2)²/8=(2p+2-2)²/8 就等于p²/2

Answer 2

解：
（1）
(x - 2)(x - m) = (p - 2)(p - m)
展开得：
x^2 - mx - 2x + 2m = p^2 - mp - 2p + 2m
消去相同项 2m ：
x^2 - mx - 2x = p^2 - mp - 2p
x^2 - p^2 - mx - 2x + mp + 2p = 0
提取后两项的公因式 (m+2) ：
x^2 - p^2 - [(m + 2)x - (m + 2)p] = 0
运用平方差公式，同时提取后两项的公因式 (x-p) ：
(x + p)(x - p) - (x - p)(m + 2) = 0
提取公因式 (x-p) ：
(x - p)(x + p - m - 2) = 0
因此：
x1 - p = 0
x2 + p - m - 2 = 0
易得：
x1 = p
x2 = -p + m + 2
（2）
若x1、x2是某直角三角形的两直角边的长，设该直角三角形的面积为S，则有：
S = p(-p + m + 2)

配方：
S = -p^2 + mp + 2p
= -p^2 + (m + 2)p
= -{p^2 - 2*[(m + 2)/2]p + [(m + 2)/2]^2 - [(m + 2)/2]^2}
= -[p - (m + 2)/2]^2 + (m + 2)^2/4
= -[p - (m/2 + 1)]^2 + (m^2 + 4m + 4)/4
= -[p - (m/2 + 1)]^2 + (m^2)/4 + m + 1

∵ 二次项系数 a = -1 < 0
∴ S 有最大值
当 p = m/2 + 1 时，
S 有最大值 (m^2)/4 + m + 1

∵ 在该直角三角形中，p > 0
即 m/2 + 1 > 0
∴ m > -2

答：x1 = p，x2 = -p + m + 2；
当 m > -2 且 p = m/2 + 1 时，此直角三角形的面积最大，最大值为[(m^2)/4 + m + 1]。