Question

已知函数f(x)是偶函数，且f(2+x)=f(2-x),当x属于[0,2]时，f(x)=1-x

则方程f(x)=1/(1-|x|)在区间[-10，10]上的解的个数是

Answer 1

当x属于[0,2]时，f(x)=-x+1

f(x)是偶函数

∴x∈[-2,0]时，f(x)=x+1

f(2+x)=f(2-x)

∴f(x)是周期函数，4是最小正周期

即将[-2,2]图像向左，向右平移得到图像

我只画了右侧图像

画出y=1/(1-|x|)图像如图

右侧4个交点，上面1个

左侧对称4个交点

总共9个交点

解的个数是9个

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Answer 2

f(2+x)=f(2-x)，令t=2+x，则x=2-t，所以，f(t)=f(2-(2-t))=f(t+4)
偶函数f(x)是周期为4的周期函数。
当x属于[0,2]时，f(x)=1-x，所以，-x属于[-2,0]，
由偶函数知，f(-x)=f(x)=1-x，令t=-x，则x=-t，所以，f(t)=1-(-t)=t+1
所以，当x属于[-2,0]时，f(x)=1+x
由周期函数知，在区间[-10，10]上，
当x属于[-10,-8)或[-6,-4)或[-2,0)或[2,4)或[6,8)或{10}，f(x+4n)=f(x)=1+x，-2=<x<0，n=-2,-1,0,1,2,3
当x属于[-8,-6)或[-4,-2)或[0,2)或[4,6)或[8,10)，f(x+4n)=f(x)=1-x，0=<x<2，n=-2,-1,0,1,2
分类解方程：
（1）当x属于[-10,-8)时，f(x-8)=f(x)=1+x（-2=<x<0），令t=x-8，则x=t+8，所以，f(t)=1+(t+8)=t+9
所以， f(x)=x+9=1/(1-|x|)=1/(1+x)，解得，x=-5-根号17
（2）当x属于[-6,-4)时，f(x-4)=f(x)=1+x（-2=<x<0），令t=x-4，则x=t+4，所以，f(t)=1+(t+4)=t+5
所以， f(x)=x+5=1/(1-|x|)=1/(1+x)，解得，x=-3-根号5
（3）当x属于[-2,0)时，f(x)=1+x（-2=<x<0）
所以， f(x)=x+1=1/(1-|x|)=1/(1+x)，解得，x=-2
（4）当x属于[2,4)时，f(x+4)=f(x)=1+x（-2=<x<0），令t=x+4，则x=t-4，所以，f(t)=1+(t-4)=t-3
所以， f(x)=x-3=1/(1-|x|)=1/(1-x)，解得，x=2
（5）当x属于[6,8)时，f(x+8)=f(x)=1+x（-2=<x<0），令t=x+8，则x=t-8，所以，f(t)=1+(t-8)=t-7
所以， f(x)=x-7=1/(1-|x|)=1/(1-x)，解得，x=4+2*根号2
（6）当x=10时，无解。
（7）当x属于[-8,-6)时，f(x-8)=f(x)=1-x（0=<x<2），令t=x-8，则x=t+8，所以，f(t)=1-(t+8)=-t-7
所以， f(x)=-x-7=1/(1-|x|)=1/(1+x)，解得，x=-4-2*根号2
（8）当x属于[-4,-2)时，f(x-4)=f(x)=1-x（0=<x<2），令t=x-4，则x=t+4，所以，f(t)=1-(t+4)=-t-3
所以， f(x)=-x-3=1/(1-|x|)=1/(1+x)，解得，x=-2（舍去）
（9）当x属于[0,2)时，f(x)=1-x（0=<x<2）
所以， f(x)=1-x=1/(1-|x|)=1/(1-x)，解得，x=0
（10）当x属于[4,6)时，f(x+4)=f(x)=1-x（0=<x<2），令t=x+4，则x=t-4，所以，f(t)=1-(t-4)=-t+5
所以， f(x)=-x+5=1/(1-|x|)=1/(1-x)，解得，x=3+根号5
（11）当x属于[8,10)时，f(x+8)=f(x)=1-x（0=<x<2），令t=x+8，则x=t-8，所以，f(t)=1-(t-8)=-t+9
所以， f(x)=-x+9=1/(1-|x|)=1/(1-x)，解得，x=5+根号17
综上，共有9个解。