Question

x/根号(1+x^2)+(1-x^2)/(1+x^2)＞0求x的范围

高中数学，不要写得太复杂。

Answer 1

[x/√(1+x²)]+(1-x²)/(1+x²)＞0求x的范围
解：∵对任何x都有1+x²>0，∴可用1+x²乘不等式的两边得同解不等式：
x√(1+x²)+(1-x²)>0，于是得x√(1+x²)>x²-1................(1)
当x>1时，x√(1+x²)>0；x²-1>0，两边都是正数，故可平方去根号得x²(1+x²)>(x²-1)²，
展开化简得3x²>1，x²>1/3，得x>1/√3，
{x︱x>1}∩{x︱x>1/√3}={x︱x>1}为(1)的解..............①
当0<x<1时，x√(1+x²)>0，而x²-1<0，故不等式(1)成立，即0<x<1是(1)的解........②
x=0时(1)的左边=0，右边=-1，0>-1，故x=0是(1)的解...........③
x=1时(1)的左边>0，右边=0，故(1)成立，即x=1是(1)的解........④
当-1<x<0时，x√(1+x²)<0，x²-1<0，故可将(1)式两边同乘以-1，不等号反向得：
0<-x√(1+x²)<-(x²-1)，两边同时平方并化简得x²(1+x²)<(x²-1)²，即有3x²<1，x²<1/3，
故得-1/√3<x<0.........⑤
x≦-1时，x√(1+x²)<0，而x²-1>0，故在区间(-∞，-1]内(1)无解。
①∪②∪③∪④∪⑤={x︱x>-1/√3}为原不等式的全部解集。

Answer 2

x/√(1+x^2)+(1-x^2)/(1+x^2)＞0
∵1+x^2>0,两边同时乘以1+x^2得：
x√(1+x^2)+(1-x^2)＞0
移项：
x√(1+x^2)>x^2-1 (#)

当 x≥1, x^2-1≥0
(#)两边平方得
x^2(1+x^2)>x^4-2x^2+1
==> 3x^2>1 ,x>√3/3 (#)
∴x≥1

当0≤x<1时， (#)左边x^2-1<0
(#)右 边 x√(1+x^2)≥0
(#)成立
∴0≤x<1

当-1<x<0时，（#）两边平方变号
3x^2<1
∴ -√3<x<0

x≤-1,(#)左边<0,右边≥0
（#）不成立
综上所述，原不等式的解集为
[-√3/√3,+∞)

追问

哇，解的漂亮，我只分了大于小于0，请问是怎么想到和正负1比较的？还有最后应该是开区间吧， -√3/√3是不是打错了？？这是负一啊~~

追答

-1-√3/3<x<√3/3
∵-1<x<0
∴ -√3/3<x<0 （这里原来打错了）
最终解： （-√3/3,+∞) （多打了一个√）

追问

那是怎么知道和正负1比的？？

追答

含根式不等式，又叫无理不等式，
一般要去根号，方法就是平方。
但不等式两边平方不能异号，
x^2-1>0==> x>1,或 x -1<x<1
产生关键值±1，当然还有一个
关键值是0，它影响左边的符号