Question

已知f（x）=x-1/2ax²-ln（1+x），其中a∈R。 1.求f（x）的单调区间 2.若f（

x）在【0，+无穷）最大值是0，求a取值范围

Answer 1

理）（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：f′(x)=
x(1-a-ax)x+1， x∈(-1，+∞)．
依题意，令f'（2）=0，解得 a=
13．
经检验，a=
13时，符合题意．…（4分）
（Ⅱ）解：①当a=0时，f′(x)=
xx+1．
故f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．
②当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=0，或x2=
1a-1．
当0＜a＜1时，f（x）与f'（x）的情况如下：
x（-1，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f'（x）-0+0+f（x）↘f（x1）↗f（x2）↘所以，f（x）的单调增区间是(0，
1a-1)；单调减区间是（-1，0）和(
1a-1，+∞)．
当a=1时，f（x）的单调减区间是（-1，+∞）．
当a＞1时，-1＜x2＜0，f（x）与f'（x）的情况如下：
x（-1，x2）x2（x2，x1）x1（x1，+∞）f'（x）-0+0+f（x）↘f（x2）↗f（x1）↘所以，f（x）的单调增区间是(
1a-1，0)；单调减区间是(-1，
1a-1)和（0，+∞）．
③当a＜0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．
综上，当a≤0时，f（x）的增区间是（0，+∞），减区间是（-1，0）；
当0＜a＜1时，f（x）的增区间是(0，
1a-1)，减区间是（-1，0）和(
1a-1，+∞)；
当a=1时，f（x）的减区间是（-1，+∞）；
当a＞1时，f（x）的增区间是(
1a-1，0)；减区间是(-1，
1a-1)和（0，+∞）．
…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（0）=0，知不合题意．
当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f(
1a-1)，
由f(
1a-1)＞f(0)=0，知不合题意．
当a≥1时，f（x）在（0，+∞）单调递减，
可得f（x）在[0，+∞）上的最大值是f（0）=0，符合题意．
所以，f（x）在[0，+∞）上的最大值是0时，a的取值范围是[1，+∞）．…（12分）

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