Question

如图，在梯形ABCD中，AB平行于CD，∠A+∠B=90°。E、F分别是AB、CD的中点，求证:EF=1/2(AB-CD)

Answer 1

证明：延长AD、BC交于点O，连接OE、OF
∵∠A+∠B＝90
∴∠AOB＝180-（∠A+∠B）＝90
∵F是CD的中点
∴OC＝CF＝CD/2
∴∠OCF＝∠FOC
∵E为AB的中点
∴OE＝BE＝AB/2
∴∠OBE＝∠ECB
∵CD∥AB
∴∠OCF＝∠OBE
∴∠FOC＝∠ECB
∴C、E、F三点共线
∴EF＝OE-OF＝AB/2-CD/2＝1/2（AB-CD）

Answer 2

延长AD、BC相交于G，连结EG交CD于H。
∵AB∥DC，∴由平行线截线束所得的对应线段成比例，有：DH/CH＝AE/BE，而AE＝BE，
∴DH＝CH，又DF＝CF，∴H与F重合。

∵∠A＋∠B＝90°，∴∠CGD＝90°，又DF＝CF，∴FG＝CD/2。
∵AB∥DC，∴△ABG∽△DCG，∴AB/DC＝EG/FG，∴（EG－FG）/FG＝（AB－CD）/CD，
∴EF/FG＝（AB－CD）/CD，∴EF/（CD/2）＝（AB－CD）/CD，
∴EF＝（1/2）（AB－CD）。