Question

改变二重积分∫(0到1)dy∫[(1-√(1-y^2)到1+√(1-y^2)]f(x,y)dx的顺序~详细过程，希望给个图~

Answer 1

我们首先来看积分区域，y从0到1，而x从1-√(1-y^2)到1+√(1-y^2)

注意看这个x＝1-√(1-y^2)，为了明白它的形状，先看x＝-√(1-y^2)，其实也就是一个半圆x方+y方＝1（左半圆），这个很容易理解，而x＝1-√(1-y^2)，也就是这个半圆右移一个单位。同理可以知道x＝1+√(1-y^2)]是右移一个单位的右半圆。所以一共是一个圆，但由于y是0到1，所以这个圆其实只有一半（另外一半我用虚线标出） 。

好了，现在我们来看换积分顺序了，从图中知道如果选用x作外积分，是0到2，那么对应的y呢？其实很简单，就是y＝0这条线到上半圆，上半圆方程是y＝1+√(1-x^2)

所以，最后结果是∫(0到2)dx∫[(0到1+√(1-x^2)]f(x,y)dy