Question

求过程，极限运算

Answer 1

解：
本题非常有意思！

显然，本题不能应用罗比达法则，因为反复求导非常繁琐，这里应用等价无穷小的概念。

易知：
x-sinx ~ x³/6 是当x→0时的等价无穷小（证明略，用罗比达法则就行）
在x∈(0-ε,0+ε)的领域内，其中：ε是非常小的正数，设：
x=arcsint，其中；t∈[-π/2，π/2]，于是：
x-sinx = arcsint - t
x³/6 = arcsin³t /6
显然，
arcsint - t ~ arcsin³t /6
将上式中的t换成x，则：
arcsinx - x ~ arcsin³x /6
因此，原式=
(arcsinx - x)(arcsinx + x)

lim(x→0) ------------------------------
x^4
(arcsin³t /6)(arcsinx + x)
=lim(x→0) -------------------------------
x^4
再根据等价无穷小：arcsinx ~ x，因此：
原式=
(x³ /6)(arcsinx + x)
=lim(x→0) -------------------------------
x^4
arcsinx + x
=(1/6)lim(x→0) -------------------------------
x
根据罗比达法则：
原式=
arcsinx + x
=(1/6)lim(x→0) -------------------------------
x
[1/√(1-x²)] + 1
=(1/6)lim(x→0) -------------------------------
1
=(1/6)×2
=1/3

Answer 2

追问

答案是三分之一，不好意思，请再看看

追答

呵呵，我觉得我的没问题

不可能是1/3，除非你抄错了题

追问

我回了就是三分之一你对arcsinx的平方第一步求外层时求错了，下课和你细说