Question

多元（2元）函数微分学求最值问题

要制造一个无盖的长方形水槽，已知它的底部造价为18元每平方米，侧面总造6元每平方米，设计总造价216元如何设计它的尺寸，才能使水槽容积最大？！请数学高手们帮帮忙吧谢谢啦

Answer 1

解：设长宽高为x,y,z，根据题意，所求问题可写为如下条件极值问题：
max V = xyz
subject to: 18xy + 12(xz + yz) = 216.
或者 3xy + 2xz + 2yz = 36.
写拉格朗日函数
L = xyz - lambda (3xy + 2xz + 2yz - 36)，求导：
Lx = yz - lambda (3y + 2z) = 0；（1）
Ly = xz - lambda (3x + 2z) = 0；（2）
Lz = xy - lambda (2x + 2y) = 0；（3）
以及约束条件 3xy + 2xz + 2yz = 36. （4）
移项后，(1)/(2)，得到
y/x = (3y+2z)/(3x+2z)，推出x = y；
同理，(2)/(3)，得到：
z/y = (3x+2z)/(2x+2y) ，并代入x = y，推出z = 3x/2 ；
最后将 y = x以及z = 3x/2都代入（4），可以求出x = 2，从而y = 2, z = 3.
答案：最佳尺寸为 长 = 2，宽= 2， 高 = 3.

Answer 2

设长宽高分别为a，b，c
那么，由已知得：18ab+12bc+12ac=216
即3ab+2bc+2ac=36
所以c=(36-3ab)/(2a+2b)
所以偏导数dc/da=(36-3b^2)/(a+b)，dc/db=(36-3a^2)/(a+b)
v=abc=ab*(36-3ab)/(2a+2b)
分别求出偏导数dv/da和dv/db
那么当且仅当dv/da=0且dv/db=0时，v取得极大值，即最大值。
解出a，b
那么c也可知道了。