Question

y=x+1/x3函数奇偶性

Answer 1

　　1.函数y=f(x)奇、偶性的定义 　　一般地，如果函数y=f(x)，定义域为A，对于定义域A内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数y=f(x)是xA上的奇函数。 　　推广：设y=f(x)，xA有-xA，若f(-x)+f(x)=0或■=-1(f(x)≠0)，那么函数y=f(x)是xA上的奇函数。 　　一般地，如果函数y=f(x)，定义域为A，对于定义域A内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)那么函数y=f(x)是xA上的偶函数。 　　推广：设y=f(x)，xA有-xA，f(-x)-f(x)=0或■=1(f(x)≠0)，那么函数y=f(x)是xA上的偶函数。 　　例1：在f(x)=x3+sinx(xR)中，f(-x)=(-x)3+sin(-x)=-x3-sinx=-(x3+sinx)=-f(x)，故f(x)=x3+sinx是xR上的奇函数。 　　例2：在f(x)=x2+xsinx(xR)中，f(-x)=(-x)2+(-x)sin(-x)=x2+xsinx=f(x)，故f(x)=x2+xsinx(xR)是偶函数。 　　2.函数y=f(x)奇偶性的判断 　　①.求函数的定义域，看看定义域是否关于原点对称。在函数y=f(x)的定义中，xA，有-xA，所以函数的定义域关于原点对称。所以定义域关于原点对称是函数具有奇、偶性的必要而不充分条件。 　　②判断f(-x)与f(x)之间的关系。 　　主要有以下三种方法： 　　i.定义法：是f(-x)=-f(x)成立还是f(-x)=f(x)成立。 　　ii.加减法：是f(-x)+f(x)=0还是f(-x)-f(x)=0成立。 　　iii.相除法：是■=-1还是■=1(f(x)≠0)成立。 　　③设y=f(x)，y=g(x)在公共的定义域A上均是奇函数或偶函数，则y=f(x)+g(x)在xA上是奇函数或偶函数；y=f(x)g(x)在xA上是偶函数；设y=f(x)是奇函数， y=g(x)是偶函数，则y=f(x)g(x)在公共定义域上是奇函数；设y=f(x)是偶函数，y=g(x)是偶函数，则y=f(x)g(x)在公共定义域上是偶函数。 　　3.奇函数的性质和偶函数的性质 　　⑴.奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，反之亦成立。设P（x,y）是函数y=f(x)上的任意一点，P′（-x,-y）是P（x,y）关于原点的对称点，如果P′（-x,-y）在y=f(x)上，那么y=f(x)的图像关于原点对称；设P（x,y）是函数y=f(x)上的任意一点，P′（ -x,y）是P（x,y）关于y轴的对称点，如果P′(-x,y）在y=f(x)的图像上，那么y=f(x)的图像关于y轴对称。 　　⑵.奇函数y=f(x)在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反；如：f(x)=x3在(-∞,0)和(0,+∞)上都是增函数，f(x)=x2在(-∞,0)上减函数，在(0,+∞)上增函数。 　　4．函数y=f(x)奇、偶性的应用 　　函数y=f(x)的奇、偶性可用于化简，求值，证明等。 　　例3.（2008年福建高考题） 函数f(x)=x3+sinx+1(xR)，若f(a)=2, 则f(-a)=（ ）。 　　A.3. B.0. C.-1 D. -2 　　解：设g(x)=x3+sinx(xR) 　　∴f(x)=g(x)+1 　　∵xR且g(-x)=-g(x) 　　∴g(x)=x3 +sinx是xR上的奇函数 　　∵f(a)=2, 　　∴f(a)=g(a)+1=2 　　∴g(a)=1； 　　∴f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-1+1=0 　　故本题答案应选择 B . 　　例4.（2008年全国高考题） 设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，且f(1)=0，解不等式■ ＜0. 　　解：∵ f(x)为奇函数， 　　∴ f(-x)=-f(x)且f(-1)=-f(1)=0 　　又∵ f(x)在（0，+∞）上是增函数， 　　∴当x＜-1或0＜x＜1时，f(x)＜0， 　　当-1＜x＜0或x＞1时，f(x)＞0. 　　又∵■＜0←→■＜0 　　←→■＜0←→ xf(x)＜0 　　∴■＜0 的解集是(-1,0)∪(0,1) 　　小结： 函数y=f(x)的奇、偶性是函数的一条非常重要的性质，它常常和函数的单调性、周期性等结合起来综合应用，具有一定的难度。

Answer 2

这里的x3是指x的三次方么？奇函数设f(x)=y=x+1/x3则f(-x)=-x+1/(-x)3=-x-1/x3=-(x+1/x3)同时该函数的定义域是(负无穷大，0)U(0,正无穷大)所以，奇函数

Answer 3

令x=-x，代入公式y=-x-1/x3=-(x+1/x3)=-y,，所以该函数为奇函数

Answer 4

f(x) = x + 1/x�0�6f(-x) = -x + 1/(-x)�0�6 = -x - 1/x�0�6 = -(x + 1/x�0�6) = -f(x)故f(x) = x + 1/x�0�6是奇函数。