Question

求助高等数学4题

1、求y'+y=0的通解2、求方程y''+2y'-3y=0的通解3、求方程y'=(y+xInx)/x的通解4、已知曲线y=y(x)上M（0，4）处切线垂直于x -2y+5=0，且函数y满足微分方程y''+2y'+y=0,求曲线y的方程有高手接吗，详细解题过程

Answer 1

1、求y'+y=0的通解dy/dx+y=0 dy/y=-dx lny=-x+c y=e^(-x+c)=c1e^-x c1=e^c
2、求方程y''+2y'-3y=0的通解
特征方程是x^2+2x-3=0 x1=1,x2=-3y=c1e^x+c2e^-3x
3、求方程y'=(y+xInx)/x的通解dy/dx=y/x+lnx设z=y/x y=zx dy/dx=z+xdz/dx 方程变变z+xdz/dx=z+lnxdz/dx=lnx/x z=ln^2x/2+c y/x=ln^2x/2+c y=xln^2x/2+cx4、已知曲线y=y(x)上M（0，4）处切线垂直于x -2y+5=0，且函数y满足微分方程y''+2y'+y=0,求曲线y的方程曲线y=y(x)上M（0，4）处切线垂直于x -2y+5=0,所以y'(0)=-2
y''+2y'+y=0的特征方程是x^2+2x+1=0 只有一解x=-1 所以y=e^-x(c1+c2x)
经过(0,4) c1=4 dy/dx=c2e^-x-e^-x(c1+c2x) c2-c1=4 c2=8
y=e^-x(4+8x)

Answer 2

1.dy/dx=-y
dy/y=-dx
两边积分得lny=-x+C'
y=Ce^(-x)2.y"-2y'-3y=0
对应特征根的方程：t^2-2t-3=0
t=3,or,t=-1
则原方程的通解：y=C1e^(3x)+C2e^(-x)

y'=3C1e^(3x)-C2e^(-x)
y(0)=1,y'(0)=2
C1+C2=1
3C1-C2=2
解得，C1=3/4, C2=1/4
特解：y=3/4e^(3x)+1/4e^(-x)