Question

设函数f(x)=ka的x次方-a的-x次方(a>0且a≠1)是奇函数

1、求常数k的值
2、若0＜a＜1，f（x+2)+f(3-2x)＞0，求x的取值范围
3、若f（1）=8/3，且函数g（x）=a的2x次方+a的-2x次方-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值

Answer 1

1. f(x)=k*a^x-a^(-x), f(-x)=k*a^(-x)-a^(x), 由于f(x)为奇函数, 则f(-x)=-f(x),

   即k*a^(-x)-a^(x)=-k*a^x+a^(-x), 则(k-1)*a^(-x)=(1-k)*a^(x), 因为a>0且a≠1, 则k=1.

2. 设a^x = y, 则原式变为f(y)=y+y^(-1), 则f(x+2)+f(3-2x)>0可变为

   a^2*y-a^(-2)/y+a^3/y^2-a^(-3)*y^2>0, 因为y^2>0, 所以整理可知

   -a^(-3)*y^4+a^(2)*y^3-a^(-2)y+a^3>0, 则可解y的范围，进而可知x的范围。

3. 情况(1)：x=1时，g(x)最小，则g(1)=a^(2)+a^(-2)-2m*f(1) = -2,（a^(2)+a^(-2)=f(1)^2+2），即可求出m。

   情况(2)：x≠1时，g(x1)最小，并记最小点处x取值为x1，则g'(x1)=0，且有f(1)=8/3，g(x1)=-2, 三个式子，三个未知数即可求解m。（求解过程中需要一些技巧）

追问

第三小题不大懂 能详细点吗

追答

情况一表示最小值出现在端点处，那么直接有g(1)=-2，加之条件f(1)=8/3，即可解出m的值。
情况二表示最小值出现在区间内，此时即存在一点x=x1>1，使得该函数的导数为零（极值点处导数为零），并且使该函数最小，即g(x1)=-2，加之已知条件f(1)=8/3（可解出a=3或者a=-1/3）。

需要说明的是情况二中a选哪个值是需要讨论的，判断依据是哪个a值使得g(x1)为最小值，而非最大值，对应的a即为满足题意的值。

追问

能给我算出来么

追答

情况一:m=25/12;
情况二:m=±2;

情况二中：g'(x1)=2a^(2x1)-2a^(-2x1)-2ma^(x1)-2ma^(-x1)=0
则，2a^(4x1)-2-2ma^(3x1)-2ma^(x1)=0
则，a^(4x1)-1-ma^(3x1)-ma^(x1)=0
则，（a^(2x1)+1）×（a^(2x1)-ma^(x1)-1）=0
则，a^(2x1)-ma^(x1)-1=0
两边平方可知，
a^(4x1)-2m×a^(3x1)+m^2×a^(2x1)-2×a^(2x1)+2m×a^(x1)+1=0
又有g(x1)=a^(2x1)+a^(-2x1)-2ma^(x1)+2ma^(-x1)=-2
则，a^(4x1)-2ma^(3x1)+2a^(2x1)+2ma^(x1)+1=0
比较系数可知，m^2-2=2，则m=±2

Answer 2

帆帆帆帆帆帆