Question

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线L： +1）x+（m+1）y-7m-4=0 1、

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线L： +1）x+（m+1）y-7m-4=0 1、证明：L恒过点（3，1） ps：已证出可当已 知用于第二问。 2、求求直线L与圆C所截得的弦长的最短长度及 此时直线L的方程。

Answer 1

1）由（2m+1）X+(m+1)Y-7m-4=0 得
m(2x+y-7)+(x+y-4)=0
令 2x+y-7=0，x+y-4=0，解得 x=3，y=1
所以，直线 （2m+1）X+(m+1)Y-7m-4=0 恒过定点 P（3，1）。
由于 (3-1)^2+(1-2)^2=5<25，所以，点P在圆内，
因此，直线与圆恒有两个交点。

2）圆心（1，2），半径 r=5
直线被圆所截的弦最短，则圆心到直线的距离最长。
由于 d<=CP=√[(3-1)^2+(1-2)^2]=√5，
所以，直线被圆所截的弦最短时，圆心到直线的距离 d=√5，
此时 CP丄L，
由于 kCP=(1-2)/(3-1)=-1/2，
所以 kL=2，故方程为 y-1=2(x-3) 即 2x-y-5=0，
并且 最短弦长=√（r^2-d^2)=√(25-5)=2√5。
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Answer 2