Question

设数列an的前n项和为sn.且sn=2-an.数列bn满足b1=1.且bn+1=bn+an

1.求an的通项公式。2.设Cn=n（3-bn.）求Cn的前n项和Sn

Answer 1

解：1、
因为sn=2-an
所以S(n-1)=2-a(n-1)
当n≥2时，有an=Sn-S(n-1)=2-an-(2-a(n-1)
即an=a(n-1)-an
即an=(1/2)a(n-1)
由sn=2-an及S1=a1得a1=2-a1
所以a1=1
所以数列{an}是以1/2为公比，1为首项的等比数列
所以an=(1/2)^(n-1)
当n=1时适合an=(1/2)^(n-1)
所以数列{an}的通项是an=(1/2)^(n-1)
由b(n+1)=bn+an得
b(n+1)-bn=(1/2)^(n-1)
于是有
b2-b1=1
b3-b2=1/2
b4-b3=(1/2)²
.....................
bn-b(n-1)=(1/2)^(n-2)
把以上累加得
bn-b1=1+1/2+(1/2)²+......+(1/2)^(n-2)
即bn-1=2[(1-(1/2)^(n-1)]
bn=3-(1/2)^(n-2)
所以Cn=n(3-bn)=n/2^(n-2)
Sn=c1+c2+c3+......+cn
Sn=2+2+3/2+4/2²+5/2³+....+n/2^(n-2)
(1/2)Sn=1+1+3/2²+4/2³+.....+(n-1)/2^(n-2)+n/2^(n-1)
上两式错项相减得
（1/2)Sn=1+1+3/2+1/2²+1/2³+......+1/2^(n-2)-n/2^(n-1)
(1/2)Sn=2+1+1/2+1/2²+1/2³+......+1/2^(n-2)-n/2^(n-1)
(1/2)Sn=2+2(1-1/2^(n-1)-n/2^(n-1)
Sn=8-(n+2)/2^(n-2)

Answer 2

n=1时，S1=a1=2-a1
2a1=2
a1=1
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=2-an-2+a(n-1)
2an=a(n-1) an/a(n-1)=1/2，为定值。
数列{an}是以1为首项，1/2为公比的等比数列。
an=1×(1/2)^(n-1)=1/2^(n-1)
数列{an}的通项公式为an=1/2^(n-1)
b(n+1)=bn+an
b(n+1)-bn=an=1/2^(n-1)
bn-b(n-1)=1/2^(n-2)
b(n-1)-b(n-2)=1/2^(n-3)
…………
b2-b1=1/2^0
累加
bn-b1=1/2^0+1/2+...+1/2^(n-2)=1×[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)=2 -1/2^(n-2)
bn=b1+2-1/2^(n-2)=1+2-1/2^(n-2)=3- 1/2^(n-2)
数列{bn}的通项公式为bn=3- 1/2^(n-2)
cn=n(3-bn)=n[3-3+1/2^(n-2)]=n/2^(n-2)
Tn=c1+c2+...+cn=1/2^(-1)+2/2^0+3/2+...+n/2^(n-2)
Tn/2=1/2^0+2/2+...+(n-1)/2^(n-2)+n/2^(n-1)
Tn-Tn/2=Tn/2=1/2^(-1)+1/2^0+...+1/2^(n-2)-n/2^(n-1)
=2×[1-(1/2)^n]/(1-1/2) -n/2^(n-1)
=4 -(n+2)/2^(n-1)
Tn=8-(n+2)/2^(n-2)