Question

数值分析小题目，求解答？

为使两点数值求积公式：具有最高的代数精度。则求积节点=？，=？，求积系数=？
谁能告诉我一下应该怎么做，谢谢大家了。

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Answer 1

设有n+1个求积结点，对于求积公式
∫{a,b}f(x)dx=∑{i=0,n}λi*f(xi) ①
要使①式具有m次代数精度，则要求f(x)为1,x,x^2,x^3,...,x^m时求积公式准确成立，即
∑{i=0,n}λi=∫{a,b}1dx=b-a
∑{i=0,n}λi*xi=∫{a,b}xdx=1/2*(b^2-a^2)
∑{i=0,n}λi*(xi)^2=∫{a,b}x^2dx=1/3*(b^3-a^3)
∑{i=0,n}λi*(xi)^3=∫{a,b}x^3dx=1/4*(b^4-a^4)
...
∑{i=0,n}λi*(xi)^m=∫{a,b}x^mdx=1/(m+1)*[b^(m+1)-a^(m+1)]
该非线性方程组中未知数为λi与xi，i=0,1,...n，总共有2*(n+1)个
因此，要求出所有未知数，最多有2*(n+1)个方程，此时m=2*n+1
即最高代数精度为2*n+1

由于原题为两个求积结点，故n=1，最高代数精度m=2*n+1=3
令a=-1,b=1，则方程组为
∑{i=0,1}λi =λ₀+λ₁=2 ②
∑{i=0,n}λi*xi =λ₀*x₀+λ₁*x₁=0 ③
∑{i=0,n}λi*(xi)²=λ₀*(x₀)²+λ₁*(x₁)²=2/3 ④
∑{i=0,n}λi*(xi)³=λ₀*(x₀)³+λ₁*(x₁)³=0 ⑤
不妨设a≤x₀<x₁≤b，易知x₀≠0且x₁≠0（否则方程组无解）
∵λi≠0，由③⑤得x₀=-x₁<0 ⑥
将⑥代入③得λ₀-λ₁=0 ⑦
联立②⑦得λ₀=1，λ₁=1
将λ₀与λ₁代入④得x₀=-√3/3，x₁=√3/3