Question

八年级下册数学题（第十八章：平行四边形）

如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，并且AF=CE
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请说明理由
（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？请说明理由

求解答！！！O(∩_∩)O谢谢！！

Answer 1

解：（1）四边形ACEF是平行四边形；
证明：∵DE垂直平分BC，
∴ED是△ABC的中位线．
∴BE=AE，FD∥AC．
Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，
∴CE=AE=AF．
∴∠F=∠5=∠1=∠2．
∴∠FAE=∠AEC．
∴AF∥EC．
又∵AF=EC，
∴四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B=30°时，四边形ACEF为菱形；
证明：要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE即可，
∵CE= 12AB，
∴AC= 12AB即可，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴当∠B=30°时，AB=2AC，
故∠B=30°时，四边形ACEF为菱形；

（3）四边形ACEF不可能是正方形，
因为由已知，∠ACB=90°，
∴∠ACE＜∠ACB，
即∠ACE＜90°，不能为直角，
所以四边形ACEF不可能是正方形．

追问

请问：∠5，∠1，∠2各是那个角？

追答

1.DF平行AC，ED平分角BEC，
角DEC=角ECA，角BED=角FEA=角BAC，
角BAC=角ECA，
CE=EA=AF，
角F=角FEA=角BAC=角ECA，
三角形ECA和AFE全等，
EF=AC，
四边形ACEF是平行四边形。
2.角B=30度时，四边形ACEF是菱形。
角BAC=60度，
由1得CE=AE，
三角形AEC等边，
ED=AC，
四边形ACEF是菱形。
3.四边形ACEF有不可能是正方形。
如果ACEF是正方形，角ACE=90度，E在BC上，又E是BC垂直平分线与AB的交点，
不可能与D重合。所以四边形ACEF有不可能是正方形。