Question

改边下列二次积分的积分次序

解题的过程是什么？谢谢。

Answer 1

积分区域：1<x<2，2-x<y<√(2x-x²)
首先画积分区域，重点是画两曲线y=2-x，y=√(2x-x²)
y=2-x是一直线，很简单，y=√(2x-x²)即：x²+y²-2x=0，是以(1,0)为圆心，1为半径的圆。
两曲线画好之后，观察1<x<2，容易看出积分区域是在圆的内部，直线的右上方。
在圆周上，当x=1时，y=1
下面重新写积分次序：

x位于直线与圆周之间，y在(0,1)之间
直线方程：y=2-x 写成 x=2-y
圆方程：x²+y²-2x=0 写成 (x-1)²+y²=1 改成 x=1+√(1-y²)

结果：原式=∫ [0-->1] dy ∫ [2-y-->1+√(1-y²)] f(x,y)dx