Question

已知双曲线焦点在x轴上，离心率为根号3，焦距为2根号3，求是否存在过（1,1）的直线与双曲线交于A，B两点，

若有求出直线，没有说明理由，谢谢

Answer 1

e=c/a=√3
∵a²+b²=c²
∴a²+b²=3a²
b²=2a²，c²=3
a²=1，b²=2
∴x²-y²/2=1

设过P点的直线为 y=k(x-1)+1
把直线方程代入双曲线方程中，得
2x²-（kx-k+1)²=2
2x²-k²x²-k²-1+2k²x-2kx+2k-2=0
(2-k²)x²+(2k²-2k)x-(k²-2k+3)=0 （****）
x1+x2=(2k²-2k)/(k²-2)
如果点P是AB的中点，则
（x1+x2)/2=1
即 (2k²-2k)/（k²-2)=2
2k²-2k=2k²-4
k=2
代入-2x²+4x-3=0
2x²-4x+3=0
判别式<0
所以，不满足
即不存在这样的直线