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在三角形ABC中,内角A,B,C对边分别是a,b,c,已知c=1,C=π/3.(1).若cos(θ+C)=3/5,0<θ<π,求cosθ;(2)若sinC+sin(A-B... 在三角形ABC中,内角A,B,C对边分别是a,b,c,已知c=1,C=π/3.(1).若cos(θ+C)=3/5,0<θ<π,求cosθ; (2)若sinC+sin(A-B)=3sin2B,求三角形ABC的面积 展开
TAT萝卜
2012-03-07
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1、
0<θ<π,,C=π/3,所以π/3<θ+C<4π/3
cos(θ+C)>0,所以π/3<θ+C<π/2
所以sin(θ+C)=√(1-cos²(θ+C))=4/5

cosθ=cos(θ+C-C)=cos(θ+C)cosC+sin(θ+C)sinC
=3/5*1/2+4/5*√3/2=(3+4√3)/10

2、sinC+sin(A-B)=2sin[(C+A-B)/2]cos[(C-A+B)/2]
=2sin[(π-2B)/2]cos[(π-2A)/2]
=2cosBsinA
=6sinBcosB
B=π/2或sinA=3sinB
当B=π/2时,为直角三角形,A=π/6,a=c*sinA/sinC=√3/3
S=ac/2=√3/6

当sinA=3sinB时,a=3b
由余弦定理:c²=a²+b²-2abcosC=7b²,b=√7/7,a=3√7/7
S=1/2*ab*sinC=3√3/28
飘渺的绿梦
2012-05-10
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第一个问题:
∵0<θ<π、C=π/3,∴π/3<θ+C<π+π/3,而cos(θ+C)=3/5>0,
∴π/3<θ+C<π/2,∴sin(θ+C)=√[1-(3/5)^2]=4/5。
∴cosθ=cos[(θ+C)-C]=cos(θ+C)cos(π/3)+sin(θ+C)sin(π/3)
=(3/5)×(1/2)+(4/5)×(√3/2)=3/10+4√3/10=(3+4√3)/10。
即:cosθ=(3+4√3)/10。

第二个问题:
∵sinC+sin(A-B)=3sin2B,∴sin(A+B)+sin(A-B)=3sin2B,
∴2sinAcosB=6sinBcosB,∴(sinA-3sinB)cosB=0,∴cosB=0,或sinA=3sinB。

一、当cosB=0时,B=π/2,又C=π/3,c=1,∴a=1/√3。
  ∴△ABC的面积=(1/2)ac=(1/2)×(1/√3)×1=√3/6。

二、当sinA=3sinB时,结合正弦定理,容易得出:a=3b。
  由余弦定理,有:c^2=a^2+b^2-2abcosC,∴1=9b^2+b^2-3b^2,∴b^2=1/7。
  ∴△ABC的面积=(1/2)absinC=(1/2)×3b^2sin(π/3)=(1/2)×3×(1/7)×(√3/2)
   =3√3/28。
综上所述,得:满足条件的△ABC的面积为√3/6,或3√3/28。
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wassadxd
2012-04-07
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第一个问题:
∵0<θ<π、C=π/3,∴π/3<θ+C<π+π/3,而cos(θ+C)=3/5>0,
∴π/3<θ+C<π/2,∴sin(θ+C)=√[1-(3/5)^2]=4/5。
∴cosθ=cos[(θ+C)-C]=cos(θ+C)cos(π/3)+sin(θ+C)sin(π/3)
=(3/5)×(1/2)+(4/5)×(√3/2)=3/10+4√3/10=(3+4√3)/10。
即:cosθ=(3+4√3)/10。

第二个问题:
∵sinC+sin(A-B)=3sin2B,∴sin(A+B)+sin(A-B)=3sin2B,
∴2sinAcosB=6sinBcosB,∴(sinA-3sinB)cosB=0,∴cosB=0,或sinA=3sinB。

一、当cosB=0时,B=π/2,又C=π/3,c=1,∴a=1/2。
  ∴△ABC的面积=(1/2)ac=(1/2)×(1/2)×1=1/4。

二、当sinA=3sinB时,结合正弦定理,容易得出:a=3b。
  由余弦定理,有:c^2=a^2+b^2-2abcosC,∴1=9b^2+b^2-3b^2,∴b^2=1/7。
  ∴△ABC的面积=(1/2)absinC=(1/2)×3b^2sin(π/3)=(1/2)×3×(1/7)×(√3/2)
   =3√3/28。
综上所述,得:满足条件的△ABC的面积为1/4,或3√3/28
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