Question

线性代数行列式化简的两个问题

打问号的地方是怎么化简出来的





Answer 1

(1) 行列式 |A| 的第1行的 -2，-3，......, -n 倍分别加到第2，3，......, n 行，得
|1+a 1 1 ... 1|
|-2a a 0 ... 0|
|-3a 0 a ... 0|
|... ... ... ... ...|
|-na 0 0 ... a|
第2，3，......, n 列的 2，3，......, n 倍分别加到第1 行列，得
|1+a+2+3+...+n 1 1 ... 1|
| 0 a 0 ... 0|
| 0 0 a ... 0|
| ... ... ... ... ...|
| 0 0 0 ... a|
得 |A| = a^(n-1)[a+n(n+1)/2].
(2) 矩阵
[1+a 1 1 ... 1]
[-2a a 0 ... 0]
[-3a 0 a ... 0]
[........................................]
[-na 0 0 ... a]
第 2，3，...,n 行分别乘以 1/a 即得,
[1+a 1 1 ... 1]
[-2 1 0 ... 0]
[-3 0 1 ... 0]
[........................................]
[-n 0 0 ... 1]
第 2，3，...,n 行的 -1 倍都加到第1行 即得结果。