Question

急 急 急 急 急 高中数学题 求高手解答

已知定义在区间[-2,t](t>-2)上的函数f(x)=(x2-3x+3)e的x次方.求：1 当t>1时，求函数y=f(x)的单调区间；2 设m=f(-2)，n=f(t)试证明:m<n ; 3 设g(x)=f(x)+(x-2)e的x次方，当x>1时试判断方程g(x)=x根的个数
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Answer 1

1.f '(x)=(2x-3)e^x+e^x(x^2-3x+3)
=e^x(x^2-x)
令f '(x)=0,
则e^x(x^2-x)=0
e^x=0或x^2-x=0
无解 或x(x-1)=0
无解 或x=0或x-1=0
无解 或x=0或x=1
x [-2,0) 0（0,1）1 (1,t）
f(x) + 0 + 0 +
f '(x) ↑ ↑ ↑
单调增区间：（1,t）
无单调减区间。
2.证：∵f(x)在[-2,t]上单调递增
3.g(x)=(x^2-3x+3)e^x+(x-2)e^x
=e^x(x^2-2x+1)
令g(x)=x,
则x=e^x(x^2-2x+1)
e^x(x^2-2x+1)-x=0
0=e^x*x^2-2e^x*x+e^x-x
0=e^x*x^2-(2e^x+1)x+e^x
令h(x)=e^x(x^2-2x+1)-x
Δ=4e^2x+1+4e^x-4e^2x
=1+4e^x>0
x=[2e^x+1±√(1+4e^x)]/2e^x
=1+[1±√(1+4e^x)]/2e^x
方程g(x)=x根的个数为2个。

Answer 2

为书写方便，用E代表e的x次方 用符号 ∫（x ） 代表f(x)的导函数
解：f(x)的导函数： ∫(x)=(2x--3)E+(x^2--3x+3)E=(x^2--x)E ∫(x)=0 x=0 或 x=1
所以： 区间 [-2,0) 因 x^2--x>0 ∫(x)>0 所以 该区间函数为增函数
同理区间[0,1) 因 x^2--x<0 ∫(x)<0 所以 该区间函数为减函数
区间[1,t] 因 x^2--x>0 ∫(x) >0 所以 该区间函数为增函数
（2）解：因为[-2,0)区间是增函数，所以 m=f(--2)<< f(-1)=(1+3+3)*(1/e)=7/e=2.575
f(1)=e=2.718>2.575 f(1)>7/e =f(-1) 因[1,t]区间也为增函数，即 f(1) <f(t)=n
总之： m=f(--2)< f(-1)< f(1) <f(t)=n 得： m<n
（3）解：g(x)=(x^2--2x+1)e^x
求 方程 g(x)=x的解 就是求 函数y=g(x)的图像与函数y=x的图像的交点，
y=x 是一条直线 函数 y=g(x) 即 y=(x--1)^2*e^x
y=g(x)的图像是开口朝下的抛物线的一部分与开口朝上的抛物线的一部分的结合，g(x)处处大于0
最大值在x=-1处 最大等于4/e 最小值在x=1处，最小值为0 (x=0, g(0)=1 处于4/e与0之间)
不难看出，两图像最终有两个交点，即说明方程y=g(x)有两个解。但题目是有x>1这个条件，X大于1的区间，只有一个交点，因此只能说只有一个解。
顺便说一下，楼上解答有问题，……

Answer 3

因为符号太多不好打，我提示一下，第一问先求f（x）导数，化简后通过判断导数大于0，在该区间就是单调递增区间，反之为减区间。
2）有第一问我们判断出函数的单调性，我们可求出函数在区间的最大值，可证明出来。
3）化简下g（x）可判断当x>1时我解