Question

请教您一下这个问题x趋向于0(sinx/x)^(1/x^2)

先变形e^lim ln (sinx/x)^(1/x^2)到lim ln(sinx/x) / x^2
然后不是0/0型了么我直接就用了诺必达法则为什么求出来是正的1/6?看了好久没看出错在那了，请你帮帮忙谢谢

Answer 1

首先题目是一道1的无穷大次方的极限，所以转化成对数没问题e^lim ln (sinx/x)^(1/x^2)到lim ln(sinx/x) / x^2 主要是错在你的求导。

lim(x趋于0) e^[ln(sinx /x) *1/x^2]
x趋于0的时候，sinx/x趋于1，
进行变换 ln(sinx /x)=ln(1+sinx/x -1)就等价于sinx/x -1 （当X趋近于0时间ln(1+x)和x是等价无穷小)
所以ln(sinx /x) *1/x^2就等价于(sinx/x -1) /x^2=(sinx -x) /x^3
由洛必达法则：lim(x趋于0) (sinx -x) /x^3 求导
=lim(x趋于0) ( -sinx) / 6x= -1/6
所以原极限=lim(x趋于0) e^[ln(sinx /x) *1/x^2]
=e^(-1/6)

追问

你说的方法我理解了，但是请你帮我看看我这样做为什么是错的

追答

错在倒数第三步 x*cosx 的导数应该等于 cosx-x*sinx