Question

定积分在几何中的应用的一道数学题：由抛物线y=x^2-4与直线y=-x+2所围成图形的面积。这道题是这样的：...

定积分在几何中的应用的一道数学题：由抛物线y=x^2-4与直线y=-x+2所围成图形的面积。这道题是这样的：先求出直线与抛物线的两个交点以确定积分的上下限，然后用定积分表示图形的面积，然后求解定积分。其实都挺简单的，唯一不明白的就是它在用定积分表示图形面积时是用直线在(2,-3)内的定积分减去抛物线在(2,-3)内的定积分。为什么用直线在范围内的定积减去抛物线在范围内的定积分就得到了所求面积？最好结合图形和定积分的几何义意解释（就是直线的定积分表示的是哪些面积，抛物线的定积分表示的是哪些面积，怎样减就得到了所求面积。）麻烦解释的细致一些，我对这一知识比较迷惑。

Answer 1

如图，抛物线 y=x²-4 与直线 y=-x+2 的交点是 (-3,5) 与 (2,0)

直线 y=-x+2 在 x=-3 至 x=2 与 x 轴围成的面积是一个三角形，由红色楔形部分 S1 和绿色部分 S2 组成。

抛物线 y=x²-4 在 x=-3 至 x=2 与 x 轴围成的面积如红色所示，由两部分组成：x 轴上方即靠左侧的楔形部分（x=-3 至 x=-2 之间）S1，是正值；x 轴下方（x=-2 至 x=+2 之间）S3，是负值。

直线 y=-x+2 与抛物线 y=x²-4 在 x=-3 至 x=2 之间围成的面积可表示为：

(S1+S2)-(S1-S3) = S2+S3

Answer 2

见图（若看不清，复制到word）

将积分区间[a,b]分成n等分每个等分为Δx=(a-b)/n

其中的第i个等分的矩形面积Ai约=(f(xi)-g(xi))*Δx

Δx→0时 Ai就接近于曲边梯形的面积

n→∞Δx→0 limΣAi= limΣ(f(xi)-g(xi))*Δx 等于所求的面积

将n→∞Δx→0  limΣ(f(xi)-g(xi))*Δx 记为

∫（上b  下a）(f(x)-g(x))dx

Answer 3

你把那个面积竖着分成N等分，每一份就相当于一个小矩形，那么这个矩形的底为△x，高就是xi对于的直线减去抛物线，，直线在抛物线上面 就是说直线大于抛物线，所以积分就是直线-抛物线咯。直线的定积分表示那个直线和x轴围成的面积，就是那个三角形面积。抛物线的定积分表示那个抛物线和x轴围成的面积，其中-2~2之间，该值是负的，这样2者相减就是所求面积