Question

已知函数f(x)=|xe^x|,方程f(x)^2+tf(x)+1=0(t属于R)有四个实数根,求t的取值范围

Answer 1

解析：先画好函数图象。
当x<0时，f (x) = -x exp(x)，求导判断单调性：
f'(x) = -exp(x) - xexp(x) = - (x+1) exp(x)，所以，
当 x < -1时，函数单调递增， f (-1) = 1/e，且f(x)总是在x轴上方的；
-1 < x < 0时，函数单调递减，f(0) = 0；
当x > 0时，f(x) = xexp(x)，没问题是全单调递增的。
题目要求有四个根，那么你画一条平行于x轴的水平直线 y = u并不断向上移动，以及画出函数草图后就会看到，如果你解一元二次方程得到两个 f 数值，想要最后只有4个根的话，必须是大的f的数值 大于1/e，这样对应一个x，且小的f的数值 大于零小于1/e，这样对应三个x；如果你解方程只得到一个f 的数值，显然不可能达到题目的要求，因为从函数图象上看，这样最多解出三个根。无解更不要说了。
所以，基于以上分析，我们有：
（1）判别式 t^2 - 4 > 0；
（2）两个根 f1 = [-t + sqrt (t^2-4)]/2，f2 = [ -t - sqrt(t^2-4) ] /2，显然f1为大的解，那么根据上面说的，必须有：
f1 > f(-1) = 1/e，且 0<f2<1/e。
解（1）、（2）两个条件，得到t的范围是：
t < - e - 1/e

Answer 2

y=xe^x, y'=(x+1)e^x,
在x<-1时,y'<0,y=xe^x递减;在x>-1时,y'>0,y=xe^x递增.
x=-1时,y=-1/e;x=0时,y=0;x趋于负无穷时,y趋于0;x趋于正无穷时,y趋于正无穷.可以画出草图.
然后可以画出f(x)=|xe^x|的草图.
设f(x)=a,
当a<0时,无解;
当a=0时,有1个根;
当0<a<1/e时,有3个根;
当w=1/a时,有2个根;
当w>1/a时,只有一个根.
而方程f(x)^2+tf(x)+1=0有四个实数根.
设方程z^2+tz+1=0的两根为z1,z2.
有z1*z2=1>0,z1≠z2(不然不能有4个实根),且z1>0,z2>0,
所以z^2+tz+1=0要有一个根在（0，1/e）上，另一个根在(1/e,+∞)上，就可以保证有四个根
设g(m)=z^2+tz+1,根据一元二次方程根的分布情况，
所以g（1/e）<0，g（0）>0
所以t<-(e^2+1)/e

Answer 3

这个简单多了吧？
|xe^x|是偶函数单调性很简单，四个实数根就是要f(x)^2+tf(x)+1=0有两个大于0 的零点
那就是对称轴大于0，判别式大于0
就是t小于-2

追问

|xe^x|不是偶函数啊

追答

不好意思，最近有点心不在焉 画出图像得到：根只可能一个在(0,1/e)另一个在（1/e，正无穷） 得到二次函数gm=m2+tm+1 满足g（1/e) 小于0即可 得到t小于-e-1/e
图像法比较简单。。。代数法看楼下的

Answer 4

忘了怎么做了，唉

追问

先画图 绝对值翻着 再二次方程的跟分布 我就最后一步不懂

追答

答案是不是 t小于-4 ？

追问

圆O半径为2，A是圆O上一定点，BC是圆O上动弦，且弦长等于3，则AC方-AB方的最大值为多少？ 谢谢。。