Question

这是一个非常有趣的数学问题

用12个正五边形和20个正六边形可组成一个近似的圆，用8个正五边形和20个正三角形也能组成一个圆，请问：组成近似圆用的正多边形还有哪些？有什么数学规律或公式吗？

Answer 1

首先纠正下楼主的说法，是组成的近似球体，而不是近似圆。高三时候学过。

回答开始：是化学公式+数学公式

用12个正五边形和20个正六边形可组成一个近似的球体，而C60（碳60）分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯。
C60是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形。
处于顶点的碳原子与相邻顶点的碳原子各用sp2杂化轨道重叠形成σ键，每个碳原子的三个σ键分别为一个五边形的边和两个六边形的边。碳原子的三个σ键不是共平面的，键角约为108°或120°，因此整个分子为球状。
C60的空间结构可以这么来考虑：
正20面体的结构应该能想象出来吧：20个面，每个面都是正三角形，12个顶点，每个顶点上有5条边。
我们把正20面体的12个顶点切去：沿边的1/3距离处切去，那么12个顶点变成了12个正五边形，20个面（正三角形）变成了20个正六边形，12个顶点变成了60个顶点。于是得到C60的结构：
20个正六边形，12个正五边形
60个顶点
边数=20+12+60-2=90.
要考虑其对称性，那么可以先从正20面体的对称性来转换。
http://baike.baidu.com/view/47981.htm

数学方法
根距欧拉定理:一个正多面体的边,面,顶点具有如下关系.
点数+面数-边数=2
而一个多面体的一个顶点处的各个面的夹角和要小于360度(画一下图就明白了),而一个定点出最少要三个多边形

对于两个不同的正多边形来组成一个球
根据顶点的角度和可一确定只有以下的各种可能:
i) 一个六边两个五边(336<360).
假设有k个五边形,因为这样的话每个五边形周围有五个六边形,而每个六边形周围只有三个五边形,所

以可知应有5*k/3个六边形.
[(k*5)+5*k/3*6]/3+(k+5*k/3)-[(k*5)+5*k/3*6]/2=2
==>k=12
所以有12个五边形和12*5/3=20个六边形,正好是足球!
ii)一个五边两个六边(348<360)

你可以参考这个图http://www.seed.slb.com/zh/scictr/watch/fullerenes2/images/ico2.gif