Question

已知椭圆离心率为根号6/3,过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆于AB两点,对任意椭圆一点M，证明存在角x，

使向量OM=cosx向量OA+sinx向量OB

Answer 1

不妨设a=3,c=√6，则b^2=3,椭圆方程为x^2/9+y^2/3=1,
右焦点F(√6，0），AB:y=x-√6，代入上式得
x^2+3(x^2-2x√6+6）=9，
4x^2-6x√6+9=0，
x1=(3√6+3√2）/4，x2=(3√6-3√2）/4,
y1=(-√6+3√2）/4,y2=(-√6-3√2）/4.
向量OM=cosx向量OA+sinx向量OB,
<==>(3cost,√3sint)=cosx*((3√6+3√2）/4,(-√6+3√2）/4)+sinx*((3√6-3√2）/4,(-√6-3√2）/4)
<==>12cost=cosx(3√6+3√2）+sinx(3√6-3√2）,
4√3sint=cosx(-√6+3√2）+sinx(-√6-3√2）,
解得cosx=[(√6+√2）cost+(√6-√2）sint]/4,①
sinx=[(√6-√2）cost-(√6+√2）sint]/4,②
①^2+②^2,得（cosx)^2+(sinx)^2=1,
∴命题成立。
不设a=3,c=√6，而设a=3k,c=k√6,k>0,计算方法类似。