Question

设f(x)是二次函数，其图像过点（1，0），且f’(1)=2, ∫1 0 f(x)dx=0（f(x)0~1的定积分）,求f(x)的解析式

Answer 1

f(x) = ax² + bx + c
a + b + c = 0 ...(1)
f'(x) = 2ax + b
2a + b = 2 ...(2)
∫(0~1) f(x) dx = 0
∫(0~1) (ax² + bx + c) dx = 0
[ax³/3 + bx²/2 + cx] |(0~1) = 0
a/3 + b/2 + c = 0 ...(3)
(1) - (3)：2a/3 + b/2 = 0 => 4a + 3b = 0 ...(4)
3(2) - (4)：(6a + 3b) - (4a + 3b) = 6
2a = 6 => a = 3，代入(4)：b = -4，代入(1)：c = 1
∴f(x) = 3x² - 4x + 1

Answer 2

设y=f(x)=ax^2+bx+c
过点（1，0），则0＝a+b+c
f’(x)=2ax+b 且f’(1)=2，则2=2a+b
∫1 0 f(x)dx=0 则 ∫1 0 （ax^2+bx+c）dx=(ax^3/3+bx^2/2+cx)(0-1取值）=a/3+b/2+c-(0)=0
由上三式解得a=3 b=-4 c=1
所以f(x)=3x^2-4x+1

Answer 3

解：设f(x)=ax^2+bx+c,f'(x)=2ax+bx f(1)=a+b+c=0 f'(1)= 2a+b=2得：-a+c=2 c=a-2 b=2-2a
f(x)=ax^2+(2-2a)x+2-a ∫1 0 （ax^2+(2-2a)x+2-a）dx=0 a=3 b=-4 c=1 f(x)=3x^2-4x+1