Question

设函数f(x)=-1/3x立方+2ax平方-3a平方x+1.0<a<1。求函数f(x)的单调区间及机值

极值

Answer 1

f'(x)=-x^2+4ax-3a^2=-(x-a)(x-3a)。
当x<a时，f'(x)<0，f(x)递减；当a<x<3a时，f'(x)>0，f(x)递增；当x>3a时，f'(x)<0，f(x)递减。
所以，f(x)的单调递减区间是(-无穷,a)和(3a,+无穷)，单调递减区间是(a,3a)。
极小值是f(a)=-(1/3)a^3+2a^3-3a^3+1=-(4/3)a^3+1。
极大值是f(3a)=-(1/3)(3a)^3+18a^3-9a^3+1=-(4/3)a^3+1=1。