Question

已知an是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2（a1份之1＋a2份之1），a3＋a4＋a5＝6

已知an是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2（a1份之1＋a2份之1），a3＋a4＋a5＝64（a3份之1＋a4份之1＋a5份之1）。（1）求数列an的通项公式。（2）设bn＝（an＋an份之1）²，求数列bn的前n项和Tn。

Answer 1

1
设公比为q,则q>0
a1+a2=2(1/a1+1/a2) (1)
a3+a4+a5=64(1/a3+1/a4+1/a5)
(1)==> a1(1+q)=2/a1*(1+1/q)
==> (a1)^2=2/q
(2)==>a1q^2(1+q+q^2)=64/(a1q^3)*[1+1/q+1/q^2]
===>(a1)^2=64/q^7
∴2/q=64/q^7
∴q^5=32,q=2
(a1)^2=2/q=1
a1=1
∴an=2^(n-1)

2
bn=[2^(n-1)+1/2^(n-1)]²
=4^(n-1)+1/4^(n-1)+2
Tn=(4^n-1)/3+(1-1/4^n)/(1-1/4)+2n
=(4^n-1)/3+4/3*(1-1/4^n)+2n