Question

设函数f(x)=(a/3)x^3+bx^2+4cx+d的图象关于原点对称，f(x)的图象在点P(1,m)处的切线的斜率为-6,

且当x=2,f(x)有极值，求单调区间

Answer 1

由于函数f(x)=(a/3)x^3+bx^2+4cx+d的图象关于原点对称， 所以函数f(x)是奇函数
而0在定义域内,所以f(0)=0.从而d=0.
而由于f(-x)=-f(x)得到b=0
所以f(x)=(a/3)x^3+4cx,
从而f'(x)=ax^2+4c
由于f(x)的图象在点P(1,m)处的切线的斜率为-6,所以f'(1)=-6
即a+4c=-6, (1)
在x=2处有极值, 所以f'(2)=0
得到4a+4c=0, 即a+c=0 (2)
由(1)(2)式知a=2,c=-2.
从而f'(x)=2x^2-8,
令f'(x)=0得到x=-2, 2
此时当x属于(-无穷大, -2)时,f'(x)>0,
当(-2,2)上f'(x)<0, 在(2,+无穷大)上f'(x)>0
所以f(x)在(-无穷大, -2)上是单调递增的, 在(-2,2)上是单调递减的,在(2,+无穷大)上是单调递增的.