Question

高数题：x=3是曲线方程的3重根，为什么它是方程二次导数的单根？

还有就是这道题怎么快速的做出来

Answer 1

设方程为F(x)=0，三重根为x=x0
则F(x)=f(x)*(x-x0)^3 f(x)是多项式
F'(x)=f '(x)*(x-x0)^3 + f(x)*3*(x-x0)^2
F''(x)=f ''(x)*(x-x0)^3 + f '(x)*3*(x-x0)^2 + f '(x)*3*(x-x0)^3 + 6*f(x)*(x-x0)
=(x-x0) * [ f ''(x)*(x-x0)^2 + f '(x)*3*(x-x0) + f '(x)*3*(x-x0)^2 + 6*f(x)]
F''(x0)=0
如果是重根的话，则有f(x0)=0，即f(x)=g(x)*(x-x0)， g(x)是多项式
于是F(x)=g(x)*(x-x0)^4
说明x0至少是F(x)=0的四重根，矛盾。所以是单根。
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看具体情况吧。反正就是看一阶导数和二阶导数的情况。快速做出来也就是特殊情况比如这题，能够快速判断一阶导数和二阶导数的零点。

追问

你的方法我知道是解析里面的 能看懂。但选择这样做有点麻烦~我想了下，求拐点就是看方程的二次导数的正负值，将原方程看成x-3的三次方，然后导三次即得~

追答

不好意思，没看下面的解析。。因为标题问为什么是单根，所以就这样证明了。
选择题的话你只要知道这个规律就行了嘛。
因为二阶导只有一个根，就是说F''(x)=(x-3)*h(x)，这里h(3)不等于0，所以h(x)在x=3的一个领域里不变号，所以在这个领域里F''(x)在3左边右边异号，所以是拐点。