Question

△ABC内接于圆O,AB为圆O的直径,∠BAC=2∠B，AC=6，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，求PA的长

过程谢谢

Answer 1

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠B＝90°，又∠BAC＝2∠B，
∴2∠B＋∠B＝90°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝2×6＝12，∴AO＝6。
∵AC＝6、AO＝6、CO＝AO＝6，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOP＝60°。
∵PA切⊙O于A，∴PA⊥AO，又∠AOP＝60°，∴PA＝√3AO＝6√3。

Answer 2

解：∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠B+∠BAC=90°
又∵∠BAC=2∠B
∴∠B=30°，∠BAC=60°
∵OA=OC
∴△OAC是等边三角形．
∴OA=AC=6，∠AOC=60°
∵AP是⊙O的切线．
∴∠OAP=90°
∴在直角△OAP中，∠P=90°-∠AOC=90°-60°=30°
∴OP=2OA=2×6=12，
∴PA=根号下OP的平方-OA的平方=根号下12的平方-6的平方＝6√3。