Question

不等式函数

已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|.
(1)求不等式f（x）<=6的解集；

Answer 1

解：2x+1=0时x=-0.5
2x-3=0时X=1.5
当X<0.5时f（x）=-2x-1+3-2x=2-4x>4
当-0.5<X<1.5时f（x）=2x+1+3-2x=4
当x>1.5时f（x）=2x+1+2x-3=4x-2>4
故f（x）≤6时-1≤x≤-0.5,-0.5≤x≤1.5,1.5≤x≤2
所以-1≤x≤2

Answer 2

追问

若函数f（x）=|x+1|+|x-2|，g（x）=|x-a| （1）解不等式3g（x）成立，求实数a的取值范围。

追答

(1)除了以上分段解法外，还可利用绝对值的几何意义画在数轴上用零点分段法，解得x≤-1或x≥2，且-2≤x≤3，故得原不等式解集为[-2，-1]∪[2，3]；

(2)问题等价于函数f(x)-g(x)的最小值大于0，分段讨论求出函数f(x)-g(x)的最小值m，然后解不等式m>0可得a的取值范围

Answer 3

(1)
方法一：
h'(x)=x/[√(x^2+1)]+1=[x+√(x^2+1)]/[√(x^2+1)]>0
h(x)为单调增函数,
x→-∞ h(x)=0
h(x)值域为(0,+∞]
方法二：
h(x)=√(x^2+1)+x=[√(x^2+1)+x][√(x^2+1)-x]/[√(x^2+1)-x]
=[(x^2+1)-x^2]/[√(x^2+1)-x]=1//[√(x^2+1)-x]
√(x^2+1)-x>0

h(x)>0

h(x)值域为(0,+∞]

【还可以设x=tant 则h(x)=√(tant^2+1)+tant=|1/cost|+tant
大多数根号都能通过转化为三角函数化消掉】
(2)
根式不等式的解法:移向平方消除根号
h(x)>2 √(x^2+1)+x>2 √(x^2+1)>2-x
x^2+1>(2-x)^2 4x>3
x>3/4
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Answer 4

(1)
方法一：
h'(x)=x/[√(x^2+1)]+1=[x+√(x^2+1)]/[√(x^2+1)]>0
h(x)为单调增函数,
x→-∞ h(x)=0
h(x)值域为(0,+∞]
方法二：
h(x)=√(x^2+1)+x=[√(x^2+1)+x][√(x^2+1)-x]/[√(x^2+1)-x]
=[(x^2+1)-x^2]/[√(x^2+1)-x]=1//[√(x^2+1)-x]
√(x^2+1)-x>0

h(x)>0

h(x)值域为(0,+∞]

【还可以设x=tant 则h(x)=√(tant^2+1)+tant=|1/cost|+tant
大多数根号都能通过转化为三角函数化消掉】
(2)
根式不等式的解法:移向平方消除根号
h(x)>2 √(x^2+1)+x>2 √(x^2+1)>2-x
x^2+1>(2-x)^2 4x>3
x>3/4

Answer 5

(1)
方法一：
h'(x)=x/[√(x^2+1)]+1=[x+√(x^2+1)]/[√(x^2+1)]>0
h(x)为单调增函数,
x→-∞ h(x)=0
h(x)值域为(0,+∞]
方法二：
h(x)=√(x^2+1)+x=[√(x^2+1)+x][√(x^2+1)-x]/[√(x^2+1)-x]
=[(x^2+1)-x^2]/[√(x^2+1)-x]=1//[√(x^2+1)-x]
√(x^2+1)-x>0

h(x)>0

h(x)值域为(0,+∞]

【还可以设x=tant 则h(x)=√(tant^2+1)+tant=|1/cost|+tant
大多数根号都能通过转化为三角函数化消掉】
(2)
根式不等式的解法:移向平方消除根号
h(x)>2 √(x^2+1)+x>2 √(x^2+1)>2-x
x^2+1>(2-x)^2 4x>3
x>3/4
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