Question

已知F1，F2是椭圆x²/9+y²/4=1的两个焦点，点P在椭圆上,如果△PF1F2是直角三角形，求点P的坐标？

答案是8个点，我已经算出y轴上的两个、x=±根5的四个，请问剩下的两个怎么求？需详细规范过程，谢谢！

Answer 1

PF1F2是直角三角形，且|PF1|>|PF2|，有两种情形：
(1)∠PF2F1=90°
所以P横坐标为√5，纵坐标为4/3
所以|PF2|=4/3
而|PF1|+|PF2|=6，所以|PF1|=14/3
所以|PF1|/|PF2|=7/2

(2)∠F1PF2=90°
设|PF1|=m |PF2|=6-m
由勾股定理：|PF1|^2+|PF2|^2=|F1F2|^2
m^2+(6-m)^2=(2√5)^2
m=2或m=4，但是|PF1|>|PF2|，所以m=4 |PF1|=4 |PF2|=2
|PF1|/|PF2|=2

Answer 2

x=正负根号5肯定是对的，但Y轴上貌似没有。可以设形成的直角三角形直角是角F1PF2，则由斜边的中线是斜边的一半，即p到o点的距离是半焦距，直接设圆x^2+y^2=5,将之与椭圆方程联立，即可解出p的剩下四个坐标。楼下的方法也可以，但计算量偏大。

追问

y轴的我算错了，但你确定一联立就一下出来四个点？

追答

你可以自己画一个圆试一下。代数题目最好联系几何图像，这样形象直观，且计算量往往比纯代数要小。