Question

函数f（x）=cosx的平方+sinx在区间〔-π/4，π/4〕上的最小值------------

函数f（x）=cosx的平方+sinx在区间〔-π/4，π/4〕上的最小值-------------

Answer 1

类似f(x)=cos²x+sinx这样的无法转换成单一三角函数表达式的函数求最值，可以采用一般函数求极值的最基本也是最普遍的方法——导数法：首先求导函数，根据导函数求出函数的增减区间以及极值点，最后求出极值。

f(x)=cos²x+sinx

f'(x)=-2cosxsinx+cosx=cosx(1-2sinx)

驻点（一阶导函数值=0的点，如左右增减性改变为极值点）：

 cosx=0→x=2kπ±π/2

2sinx=1→x=2kπ+π/6，或x=2kπ+5π/6

∵x∈[-π/4，π/4]

∴区间内包含的驻点x=π/6

x∈[-π/4,π/6)时，f'(x)>0,f(x)单调递增；

x∈(π/6,π/4]时，f'(x)<0,f(x)单调递减

∴f(π/6)是最大值

  最小值=min[f(-π/4),f(π/4)]

∵f(-π/4)=1/2-√2/2,f(π/4)=1/2+√2/2

∴最小值=f(-π/4)=1/2-√2/2

Answer 2

x∈(-π/4,π/4)
sinx∈(-√2/2,√2/2)
f(x)=cos^2 x+sinx
=(1-sin^2 x)+sinx
=-sin^2 x+sinx+1
设sinx=t
f(x)=-t^2+t+1 t∈(-√2/2,√2/2)
=-(t-1/2)^2+5/4
f(x)min=f(-√2/2)=(√2-1)/2