一致连续函数一定连续吗？求证明
如果函数f(x)在I上一致连续，自然在I上也是连续的；证明如下：
设函数f(x)在I上一致连续，那么对于I上任意一点t，即t∈I。
f(x)是一致连续的，对任取的e>0，存在d>0，当I上任意两点a和b满足|a-b|<d，有 |f(a)-f(b)|<e。
对I上的点x和y，当满足 |x-t|<d/2 且 |y-t|<d/2，那么 |x-y|<d/2+d/2=d。
有 |f(x)-f(t)|=|f(x)-f(y)+f(y)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)| 。
由于f一致连续，|x-y|<d，|y-t|<d/2<d，那么：
|f(x)-f(y)|<e，|f(y)-f(t)|<e 。
则 |f(x)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)|<2e。
也就是对任取的e>0，存在d'=d/2，当|x-t|<d'，有 |f(x)-f(t)|<2e。
即f(x)在点t连续；由于点t是在I上任意选取一点，f(x)在I上连续。
所以一致连续函数一定连续。
相关内容解释：
函数在数学上的定义：给定一个非空的数集A，对A施加对应法则f，记作f（A），得到另一数集B，也就是B=f（A），那么这个关系式就叫函数关系式，简称函数。
简单来讲，对于两个变量x和y，如果每给定x的一个值，y都有唯一一个确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数。其中，x叫做自变量，y叫做因变量。
一致连续函数一定连续。
如果函数f(x)在I上一致连续，自然在I上也是连续的；证明如下：
设函数f(x)在I上一致连续，那么对于I上任意一点t，即t∈I；
f(x)是一致连续的，对任取的e>0，存在d>0，当I上任意两点a和b满足|a-b|<d，
有 |f(a)-f(b)|<e ；
对I上的点x和y，当满足 |x-t|<d/2 且 |y-t|<d/2，那么 |x-y|<d/2+d/2=d ；
有 |f(x)-f(t)|=|f(x)-f(y)+f(y)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)| ；
由于f一致连续，|x-y|<d，|y-t|<d/2<d，那么
|f(x)-f(y)|<e，|f(y)-f(t)|<e ；
则 |f(x)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)|<2e；
也就是对任取的e>0，存在d'=d/2，当|x-t|<d'，有 |f(x)-f(t)|<2e ；
即f(x)在点t连续；由于点t是在I上任意选取一点，f(x)在I上连续。
所以一致连续函数一定连续。
法则
定理一 在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。
定理二 连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。
定理三 连续函数的复合函数是连续的。
这些性质都可以从连续的定义以及极限的相关性质中得出。
设函数f(x)在I上一致连续，那么对于I上任意一点t，即t∈I；
f(x)是一致连续的，对任取的e>0，存在d>0，当I上任意两点a和b满足|a-b|<d，
有 |f(a)-f(b)|<e ；
对I上的点x和y，当满足 |x-t|<d/2 且 |y-t|<d/2，那么 |x-y|<d/2+d/2=d ；
有 |f(x)-f(t)|=|f(x)-f(y)+f(y)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)| ；
由于f一致连续，|x-y|<d，|y-t|<d/2<d，那么
|f(x)-f(y)|<e，|f(y)-f(t)|<e ；
则 |f(x)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)|<2e；
也就是对任取的e>0，存在d'=d/2，当|x-t|<d'，有 |f(x)-f(t)|<2e ；
即f(x)在点t连续；由于点t是在I上任意选取一点，f(x)在I上连续。
所以一致连续函数一定连续。
