Question

求证 函数f(x,y)=xy2/(x2+y4)当(x,y)→ (0,0)时极限不存在

1 当x=y时，通过计算f(x,y)=x/(1+x^2)，显然此时(x,y)→ (0,0)，即x→0，f(x,y)→0

2 当点(x,y）沿y=x ,→ (0,0)时，
lim(y=x,y→0）[xy^2/(x^2+y^4)]
=lim(y=x,y→0）[y^3/(y^2+y^4)]
=lim(y=x,y→0）[y^(-1)/(y^(-2)+1)]不存在。
所以，函数f(x,y)=xy2/(x2+y4)当(x,y)→ (0,0)时极限不存在
求告知1 2 两种哪个队啊
3y²=kx
方式趋于(0，0)
函数可以变成
k/(k²+1)
极限随着k的变化而改变，不趋向一个固定的值，
所以，原式的极限不存在。 此时的k不是趋向于0吗??

Answer 1

二元函数的极限存在是指按x，y变化的任意路径都是趋于同一极限值。
所以为了说明极限不存在只要找两个路径，极限值不同即可。
正确的一个做法：当x=y^2时，通过计算f(x,y)=1/2，即此时(x,y)→ (0,0)，极限时1/2
当x=y时，通过计算f(x,y)=x/(1+x^2)，显然此时(x,y)→ (0,0)，即x→0，f(x,y)→0
于是证完。

追问

别闹，复制答案一边玩去

Answer 2

①第一种是对的，
②你的k一旦确定，就不能再变了，不存在k→0的情况，
你可以取k=1、k=2这些固定值。

追问

当x=-y，极限是0吗？

追答

是的，x=ky，极限都是0

追问

x=ky,怎么求得极限0

追答

ky^3/(k^2y^2+y^4)
=ky/(k^2+y^2)
k≠0时，当y→0时
上式极限为0