Question

如图,等边三角形ABC内接与圆O,P是弧AB上任意一点(点P不与A,B重合)，连AP.BP，过C做CM平行BP，

交PA的延长线与点M。
(1)求证：三角形PCM为等边三角形
（2）若PA=1，PB=2,求梯形PBCM的面积

Answer 1

1：证明：因为△ABC是正三角形

所以 弧AC 对应 ∠MPC和 ∠ABC相等，所以∠MPC=60度

同理 ∠BPC=∠BAC=60度

因为 PB//CM  所以 ∠PCM=∠BPC=60度

这样在△PCM中，∠MPC=∠PCM=60度

因此△PCM是正三角形

2： 两个等边三角形，则MC=PC，AC=BC

又 ∠ACM+∠ACP=60度=∠ACP+∠PCB

所以∠ACM=∠PCB

因此 △MAC≌△BPC

所以 AM=PB=2  

所以 PM=MC=PC=3

因为 ∠APB=120（对应120圆弧）

PA=1 PB=2

所以AB=√（1+2x2+2x1x2x1/2）=√7

S梯形PBCM=S△BPC+S△MPC

                  =1/2BPxPCsin60+1/2MPxPCsin60

                  =1/2x2x3x√3/2+1/2x3x3x√3/2

                  =3x√3/2+9√3/4

                  =15√3/4