Question

两个重要极限的第二个=e的极限为什么要取e啊，我知道(1+1/n)^n在2和3之间，但为什么就取e呢？ 是规定的吗

书上正文部分只证明了第二个重要极限的数列极限部分，而且也没有说明极限为什么=e。

Answer 1

你把因果关系搞反了，不是把这个极限取e。也不是人们证明了这个极限等于e。

事实上是这样，(1+1/n)^n的极限在2与3之间，但是这个数是个无理数，不能算出准确值，于是早年的数学家们就给这个数字起了个名字，叫做“e”。这时才有了e。

Answer 2

证明方法我大概说一下 有兴趣你可以自己研究~
两个数列 en = (1+1/n)^n
sn = 1 + 1/1! + 1/2! +...+ 1/n!
众所周知 sn的极限就是e 这也是e最开始的算法 （或是e^x在x=1处的泰勒展开）
首先sn是递增的. 又sn有上界3 所以sn有极限 记为s 同理en也有极限 记为e
（sn = 1 + 1/1! + 1/2! +...+ 1/n! <= 1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 +... +1/2^(n-1)
= 3 - 1/2^n < 3）
现在证明 en<=sn 和 e >= sn(对任意的n) 两边取极限即可得到 e<=s 和 e >= s 即 e=s
头一个不等式的证明用二项式展开 后一个不等式的证明我记得好像把en中的项乘个什么系数再取极限。至于为什么e就等于2.71828. 这就是计算机牛B了
e为什么是无理数呢，也可以证明，几步就出来了。不过需要个引理 就是e和sn之差大于0小于等于1/(n!*n)

Answer 3

这是规定，这个数在自然科学中有很大应用，不然怎样叫自然数呢。

Answer 4

e这个东西是自然对数的底。
记住它就行了，至于为什么会叫做e，e又是从哪里来的，也许学了级数和复数之后会明白一点点。