Question

计算极限lim(x趋向于无穷大){[(a^x)+1]/x}^1/x,(a＞0，a不等于1)

想问个困惑的地方，当0<a<1,极限lim(x趋向于无穷大)lny=极限lim(x趋向于无穷大)[ln(a^x+1)-lnx]/x,为何就变成，极限lim(x趋向于无穷大){[(axlna)/(a^x+1)]-1/x}=0,当a>1时，极限lim(x趋向于无穷大)lny为何就变成，极限lim(x趋向于无穷大)(lna/[(1+a^-x)-1/x]=lna,还有此题为什么要分两种情况进行讨论？~前面有些过程我省了~

Answer 1

1. 为什么要分0<a<1与a>1时讨论？
因为a^x在x→+∞的时候 极限不同 分别是0和+∞
2. 0<a<1时令y=[(a^x)+1]/x}^1/x 所以lny= [ ln(a^x+1)-lnx ]/x 当x→+∞时 分子分母同时趋向无穷（正无穷负无穷无所谓） 使用L'Hospital 法则 分子分母求一次导 得 [(a^xlna)/(a^x+1)]-1/x=0-0=0 当x→+∞ （直接算就行了）所以lny=0 y=1
3.当a>1时令y=[(a^x)+1]/x}^1/x 所以lny= [ ln(a^x+1)-lnx ]/x 当x→+∞时 分子分母同时趋向无穷（因为a^x是比x更高阶的无穷大）使用L'Hospital 法则 分子分母求一次导 得 [(a^xlna)/(a^x+1)]-1/x=lna / ( 1+a^(-x) )-0 （分子分母同除以a^x）=lna 所以lny=lna y=a

答案就是 当0<a<1时 函数极限为1
当a>1时 函数极限为a

Answer 2

1、应用罗比达法则而得到；
2、当0<a<1时与a>1时上面的极限值是不同的：这主要是由指数函数的取值决定的；
（1）当0<a<1时：a^x→0,所以其极限值就取决于其他式子：
(1/x)^(1/x)<{[(a^x)+1]/x}^1/x<(2/x)^(1/x)
而两边的极限都是1，所以极限就是1；
（2）当a>1时：a^x→∞,所以其极限值就取a^x：
(a^x/x)^(1/x)<{[(a^x)+1]/x}^1/x<(2a^x/x)^(1/x)
而两边的极限都是a，所以极限就是a；
当然，这个极限应该是x→+∞。