Question

高中三角函数数学题

　　在三角形ABC中，已知AB=2，BC=1，CA=√3，分别在AB、BC、CA上取点D、E、F，使三角形为正三角形，设∠FEC=α，问：sinα取何值时，三角形DEF的边长最短，并求此最短的边长。　　这道题我解了很长时间也没算出来，有能力的Ｑ友请附上你的解题思路，谢谢

Answer 1

注：下文中V3的意思是根号三
由边长关系知三角形ABC为直角三角形，角A为30度，角B为60度，
设正三角形变长为a，过点E作EG垂直AB于点G，
DE＝acosα，EG＝asinα，BE＝EG／sin60＝2asinα／V3，
因为BE＋DE＝1，所以acosα＋2asinα／V3＝1，
化简得：a（V3cosα＋2sinα）＝V3，
提出4倍：4a（V3cosα／2＋sinα／2）＝V3
所以：4asin（60＋α）＝V3
若a最小，则sin（60＋α）最大
因为0＜α＜90，所以，α＝30，所以sinα＝1／2

Answer 2

设边长为x，CE=xcosα，BE=1-xcosα，
因为α+∠EFD=∠BDE+∠B=180°-∠DEB
所以α=∠BDE
有正弦定理得BE/sinα=DE/sin60°，
所以x=√3/√7sin（α+φ）
所以最小值等于√21/7