Question

如图AD是三角形ABC的平分线,E为BC中点,EF平行AB交AD于点F,CF的延长线交AB于点G,求证:AG=AC

如图，AD是三角形ABC的平分线,E为BC中点,EF平行AB交AD于点F,CF的延长线交AB于点G,
求证: AG=AC

Answer 1

∵EF∥AB，E是BC中点，那么CE=BE=1/2BC，即CE/BC=1/2

(1)学过平行线等分线段定理：CF=FG

(2)学过中位线定理的逆定理：EF是中位线，那么CF=FG

(3)只学过相似：EF∥AB，那么∠CEF=∠B，CFE=∠CGB

∴△CEF∽△CBG，那么CE/BE=CF/CG=1/2

CF/(CG-CF)=1/(2-1)，得：CF/FG=1

∴CF=FG

做FM⊥AB于M，FN⊥AC于N

那么∠FMA=∠FNA=90°

∵AD是三角形ABC的平分线,

∴∠BAD=∠CAD，即∠MAF=∠NAF

∵AF=AF

∴△AMF≌△ANF(AAS)

∴FM=FN

∵CF=FG，FM=FN

∴RT△FMG≌RT△FNC(HL)

∴∠MGF=∠NCF

即∠AGC=∠ACG

∴AG=AC

 

Answer 2

E是BC中点且EF平行于BG
GF=CF
又∠GAF=∠CAF
AF=AF
△GAF全等于△CAF
AG=AC

追问

这不能证全等，是SSA吧！能用“平行线分线段成比例定理”吗？

Answer 3

解：∵e为bc中点，ef∥bg
∴f为cg中点（中位线）
∴fg=fc
又∵af=af ，∠gad=∠cad
∴△agf≌△acf
∴ag=ac

Answer 4

EF//AB//BG 且BE=EC
得CF=FG
又AD为平分线，<GAF=<CAF
三角形AFG全等三角形AFC
AG=AC

追问

证全等条件不够，只有一角一边啊啊啊~~
能用“平行线分线段成比例定理”吗

追答

还有一个共有边AF啊，怎么会条件不够？