当x趋于无穷时,arctanx/x的极限等于多少
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极限是0.
|arctanx|<π/2<2
故0≤|arctanx/虚肢x|<2/|x|
lim{x->∞}0=0
lim{x->∞}2/|x|=0
由夹逼定理知
lim{x->∞}|arctanx/x|=0
所以lim{x->∞}arctanx/腔誉裤伍简x=0
|arctanx|<π/2<2
故0≤|arctanx/虚肢x|<2/|x|
lim{x->∞}0=0
lim{x->∞}2/|x|=0
由夹逼定理知
lim{x->∞}|arctanx/x|=0
所以lim{x->∞}arctanx/腔誉裤伍简x=0
追问
第一步不能理解
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追问
当 x→ -∞,arctanx → -π/2 ,原式 = (-π/2) / (-∞) = 0
当x→+∞,arctanx → π/2 ,原式 = (π/2) / (+∞) = 0
所以 原式 = 0
这个解答对吗?为什么 不写 kπ+ (π/2)
追答
解答是对的,(好像我的过程写错了,arctan函数是有极限的,不能用罗必塔)
第二个问题,因为反三角函数是三角函数在规定定义域下的反函数(否则会引起多值),arctan函数定义为tan在(-π/2,π/2)下的反函数,故arctan值域为(-π/2,π/2),不会带着kπ.
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