Question

设各项了均为正数的数列｛an｝的前n项和为Sn且Sn-(n² n-3)Sn-3(n² n)=0.n∈N，

(1)求a1.(2)求数列an的通项公式。 (3)求证：对一切正正数n,均有1/a1(a1+1)+1/a2(a2+1)+...+1/an(an+1)＜1/3

Answer 1

（1）因为Sn²-(n²+n-3)Sn-3(n²+n)=0
所以(Sn+3)[Sn-(n²+n)]=0
因为数列an的各项均为正数
所以Sn-(n²+n)=0
Sn=n²+n
a1=S1=2
（2）an=Sn-S(n-1)=2n(n≥2)
当n=1时，a1=2×1=2，所以a1符合通项公式
故数列｛an｝的通项公式为an=2n
（3）1/[a1(a1+2)] +1/[a2(a2+2)]+…+1/[an(an+2)]
=1/(2×4) +1/(4×6)+…+1/[an(an+2)]
=1/2×[1/2-1/4+1/4-1/6+…+1/an-1/(an+2)]
=1/2×[1/2-1/(an+2)]
=n/(4n+4)